Chapitre 07 – Les nombres complexes

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 07 – Les nombres complexes
Deuxième partie
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O; Ä
OI ; Ä
OJ ).
I. Module, argument et forme trigonométrique d’un nombre complexe
1. Définitions
Définitions :
Soit z un nombre complexe non nul et soit M son point image.
•
On appelle module de z et on note |z | la distance OM.
•
OI ; Ä
OM).
On appelle argument de z et on note arg( z) une mesure de l’angle orienté (Ä
•
Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme trigonométrique
z=r(cosθ+ isinθ) avec r= | z | ( d o n c r >0 ) et θ=arg( z) (2π)
Remarques :
•
si M a pour coordonnées polaires [ r,θ] alors |z |=r et arg(z)=θ (2π).
•
Si z est un nombre complexe non nul et Å
u son vecteur image.
Alors |z |= | z Åu | = ║ Å
u ║ et arg( z)=arg (z uÅ)=(Ä
OI ; Å
u ) (2π)
Cas particuliers :
•
Si z=0 alors M est en O, la distance OM est nulle. On définit alors le module de 0 par |0|=0.
Mais attention, 0 n’a pas d’argument. Par conséquent, 0 n’a pas de forme trigonométrique.
•
Si x ☻IR alors la valeur absolue de x est égale au module de x
Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique :
Si z est un nombre complexe non nul, de forme algébrique z=x+ iy ( x et y réels) et de forme
trigonométrique z=r(cosθ+ isinθ) alors:
x=rcosθ

y=rsinθ
et
2
2
| z | =r= x + y
x
x
cosθ= =
et sinθ= y =
2
2
r
r
x +y

y
x 2+ y 2
2. Propriétés
Propriétés :
Soit z et z′ deux nombres complexes.
•
z=0 ñ |z |=0
•
| z | = | z′|
z=z′ ñ 
.
arg( z)=arg( z′)(2π)
•
z☻IR ñ z=0 ou arg( z)=0 (2π) ou arg( z)=π (2π) ñ z=0 ou arg( z)=0 (π) .
•
z est imaginaire pur ñ z=0 ou arg( z)= π (2π) ou arg( z)=- π (2π) ñ z=0 ou arg( z)= π ( π)
2
2
2
Chapitre 07 – Les nombres complexes – Deuxième partie
1/3
Opérations sur les modules et arguments :
Interprétation géométrique
Soit z et z′ deux nombres complexes non nuls
•
|z |= zÒz donc |z |2=zÒz .
•
Produit : |zz′|= | z | | z′| et arg( zz′)=arg( z)+ arg( z′) (2π)
┐n☻IN , |z n|= | z | et arg ( z n ) =n×arg( z) (2π)
n
1
et arg  1 =- arg( z) (2π).
z
| z|
•
Inverse :  1 =
•
Quotient :  z′ =
•
z |= | z | et arg (Ò
z )=- arg( z) (2π)
Conjugué : |Ò
•
Opposé : |- z |= | z | et arg(- z)=arg( z)+ π (2π)
z 
z
| z′| et arg  z′ =arg( z′)−arg( z) (2π).
z
| z|
3. Distances et angles orientés.
Soient A, B, C trois points distincts deux à deux d’affixes respectives zA , zB et zC .
•
OI , Ä
AB ) (2π)
|zB −zA |=AB et arg ( zB −zA ) =(Ä
Application géométrique du calcul du quotient
•
•
•
●
 zC − zA = AC et arg  zC − zA =(Ä
AB ; Ä
AC ) (2π)
 zB − zA  AB
 zB − zA 
zC −zA
:
zB −zA
zC −zA
=k ( k☻IR ) alors Ä
AC et Ä
AB sont colinéaires et alors les points A, B et C sont alignés.
zB −zA
z −z
AC
Si  C A =r ( r☻IR + ) alors
=r. Si de plus r=1, alors AC=AB.
AB
 zB − zA 
Si
zC − zA 
=θ (2π) alors Ä
AB , Ä
AC =θ(2π).
 zB − zA 
Si arg 
(
)
Ainsi si θ=0 ( π) alors A, B, C sont alignés.
si θ= π ( π) alors ( AB) et (AC) sont perpendiculaires.
2
II.
Forme exponentielle d’un nombre complexe
1. Définition
Soit la fonction f définie sur IR et à valeurs dans CI par f( θ)=cosθ+ isinθ.
Justifions que f( θ) peut s’écrire sous la forme exponentielle e iθ en montrant que f vérifie la propriété fonctionnelle caractéristique des
fonctions exponentielles càd montrons que f( θ+ θ’)=cos( θ+ θ’)+ isin( θ+ θ’)
(*)
•
Calculons f( θ)×f( θ’)=(cosθ+ isinθ)×(cosθ’+ isinθ’) =cosθcosθ’−sinθsinθ’+ i(cosθsinθ’+cosθ’sinθ).
•
Or on sait que cos( θ+ θ’)=cosθcosθ’−sinθsinθ’ et sin( θ+ θ’)=cosθsinθ’+cosθ’sinθ
•
Conclusion : cette fonction f vérifie bien la relation (*) donc il devient légitime d’écrire f( θ)= cosθ+ isinθ=e iθ
Définition : Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est θ est noté e iθ . Ainsi e iθ =cosθ+ isinθ .
Conséquence : Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme dite exponentielle z= re iθ avec r= | z | et θ=arg( z) (2π)
Remarques :
On peut écrire que z= re iθ est une forme exponentielle uniquement si r>0.
•
0 n’a pas de forme exponentielle.
•
Lorsque θ décrit Ë, l’ensemble des points d’affixe z tel que z= re iθ ( r >0 ) est le cercle de centre O et
•
de rayon r. De manière plus générale, lorsque θ décrit Ë, l’ensemble des points d’affixe z tel que
z= zI + re iθ ( r >0 ) est le cercle de centre I et de rayon r.
Chapitre 07 – Les nombres complexes – Deuxième partie
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En notant x+ iy la forme algébrique de z, les coordonnées ( x;y) des points du cercle de centre I et de rayon r vérifient le
x=xI + rcosθ
système 
(θ☻Ë). On dit que ce système est une représentation paramétrique de paramètre θ de ce cercle.
y=yI +rsinθ
Cas particuliers (à retenir…):
•
|1|=1 et arg(1)=0(2π) donc 1= e i0
•
| i | =1 et arg( i)= π (2π) donc i=e
2
iπ
2
.
•
| - 1 | =1 et arg(-1)=π(2π) donc -1=e iπ .
•
| - i | =1 et arg(- i)=- π (2π) donc –i=e
-i π
2
2
2. Règles de calculs
Avec la forme exponentielle, les opérations sur les modules et arguments (vues à la page 2) se retiennent plus facilement…
Soit z=re iθ et z′=r′e iθ′ deux nombres complexes non nuls écrits sous forme exponentielle.
•
zz′=rr′e i( θ+ θ′)
•
┐n☻IN, z n = r n e inθ
•
1
1
= e - iθ
z
r
•
z
r
= e i( θ− θ′)
z′ r′
Exercices Pour tous ces exercices, lorsque c’est nécessaire, le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O;I;J)
III.
Exercice 1
1. Ecrire chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique :
z1= 3 + i;
2.
z2 =1−i;
z3=- 2 + i 2 ;
z4=4−4i;
z5=-2i;
- z1;
Ecrire chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique : z1z5;
z2 ;
1
3
z6=- + i
4
4
z3
.
z4
Soit z le nombre complexe de module 3 et d’argument - π . Déterminer la forme algébrique de z.
4
Exercice 2
3.
Soient A, B, C, D et E les points d’affixes respectives zA =2+4i,
zB =-1−2i,
Les questions sont indépendantes.
1. Montrer que A appartient au cercle C de diamètre [ OE].
2. Montrer que le triangle BAE est rectangle en A.
zC =-3+4i,
3.
4.
3 11
zD = + i,
2 2
zE =5i.
Montrer que O, A et B sont alignés.
Montrer que D est le projeté orthogonal de A sur
( CE).
Exercice 3
Soient A et B deux points d’affixes respectives zA =2+ i et zB =4−i. Déterminer algébriquement puis géométriquement :
1. l’ensemble des points M d’affixe z tel que |z−2−i |=4
2. l’ensemble des points M d’affixe z tel que |z−2−i |= | z−4+ i | .
Tracer les ensembles trouvés dans le plan complexe.
Exercice 4
1. Placer dans le plan complexe, les points M1, M2 et M3 images respectives des complexes
iπ
-2i π
3 iπ
z1=2 e 4 ;
z2= e 3 ;
z3= 3 e 3 .
Déterminer la forme algébrique de chacun de ces complexes.
2
z1
2. Ecrire sous forme exponentielle: z1× z2;
;
z1 ;
- z2 ; z35
z2
3. Donner la forme exponentielle de chacun des nombres suivants :
1+ i 3
12
2−2i
z=i ( 6 −i 2 )
z=(-1+ i)
z=
z=(2+2i)(1−i)
z=
-1+ i 3
3+i
Exercice 5
iπ
Soit z=3e 3 . Démontrer que z 57 est un réel. Préciser son signe.
Exercice 7
1. Donner la forme algébrique du nombre
5
z=(1−i 3 ) (Astuce : déterminer d’abord la forme
Exercice 6
exponentielle de 1−i 3 )
Soit z= ( - 3 + i ) (1−i)
1. Donner la forme algébrique puis la forme exponentielle
de z.
2.
En déduire les valeurs exactes de cos 7π  et sin 7π .
3.
2.
 12 
 12 
Donner la forme algébrique de z=
(1+ i)
3+i)
2002
Donner la forme algébrique de (1+ i) et
2002
(-1+ i)
Chapitre 07 – Les nombres complexes – Deuxième partie
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3
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