Exercice n°1 : On désigne par p un nombre entier premier supérieur

Exercice n°1 :
On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.
Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n =
est divisible par 240.
1. Les restes possibles dans la division euclidienne de p par 3 sont 0 ; 1 ou 2
Or le reste 0 est impossible car p serait alors multiple de 3, or on sait que p est premier et supérieur à 7, il ne
peut donc être multiple de 3.
Alors p
1 (3) ou p
2(3), et comme
2(3), on a donc bien p
Deux méthodes sont possibles à partir de là :
les résultats précédents s’écrivent
Or
–1 (3) ou p
1 (3)
c'est-à-dire 3 divise
et donc 3 divise nécessairement
.
.
Autre méthode : d’après la compatibilité des congruences avec les puissances on obtient :
Ce qui prouve que n est divisible par 3.
2. p étant premier supérieur à 7 est donc un premier impair ( 2 est le seul nombre premier pair)
Donc il existe un entier naturel k tel que
, alors :
et
Par suite : n =
=
or k et k+1 sont deux entiers consécutifs, l’un des deux est pair, et par suite k(k+1) = 2K , avec K entier
on peut donc écrire n = 16K(2k2 + 2k + 1), ce qui prouve que n est divisible par 16.
3. n = (p – 1) (p + 1) (p 2 + 1) et les restes de la division euclidienne par 5 sont 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4
0 est impossible car p est premier supérieur à 7 (il n’est donc pas égal à 5).
p 1 (5) p4 1 (5) n 0 (5)
p 2 (5) p4 16 (5) ⇒
1(5) n 0 (5)
p 3 (5) p – 2 (5) p4 16 (5) ⇒
1 (5) n 0 (5)
4
p 4 (5) p – 1 (5) p
1(5) n 0 (5)
Finalement, dans tous les cas n est divisible par 5.
On démontrera un peu plus tard dans l’année qu’alors n est divisible par
Exercice 2 :
1°) Soit A = n² – n + 41 . On vérifie pour les premiers entiers naturels n que cette formule semble donner
des nombres premiers : pour n = 0 ou 1 A = 41 , pour n= 2 A = 43 , n=3 A = 47 , n= 4 A = 53 et enfin
pour n = 5 A = 61. 41 ; 43 ; 47 ; 53 & 61 sont bien des nombres premiers.
Pour quelle valeur de l’entier naturel n, A n’est-il , "à coup sûr", pas premier ?...en réfléchissant un peu on
« voyait » que pour n = 41 on avait A = 41² qui n’est bien sûr pas premier.
2°) l’identité « remarquable » :
montre que le nombre
se décompose en
Il n’est donc pas premier dès que chacun des deux facteurs est supérieur strictement à 1, ce qui est réalisé pour
le plus petit des deux,
dès que
(le trinôme
est croissant sur [
Comme pour
on obtient
n = 1 est le seul entier rendant
(et pour n= 0
premier.
)