Université de Rennes 1 TOPOLOGIE GÉNÉRALE QCM1 (30

Université de Rennes 1
TOPOLOGIE GÉNÉRALE
QCM1 (30 minutes)
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Prénom :
Pour chaque question entourer l’unique bonne réponse.
Exercice 1 : (Total 10 points, bonne réponse 2.5 points, mauvaise réponse −1 point)
a) Lequel de ces ensembles n’est pas un fermé de R2 muni de la topologie induite par la norme
euclidienne ?
1) {(x, y) ∈ R2 | x = ey }.
2) ]0, 1] × {0} ∪ {0} × R.
3) [0, 1] × {0, 1}.
4) {(x, y) ∈ R2 | y < sin(x)}.
b) En notant (x, y, z) les coordonnées dans la base canonique de R3 , laquelle de ces fonctions définit
une norme sur R3 ?
1) N (x, y, z) = |x − y + z|.
p
2) N (x, y, z) = |x| + y 2 + z 2 .
3) N (x, y, z) = x2 + (x − y)2 + (y − z)2 .
4) N (x, y, z) = max{x, y, z}.
c) Soit τ 1 une topologie sur R∗+ et τ 2 une topologie sur [−1, 1]. On pose
f :
R∗+
x
→ [−1, 1]
.
7
→
sin( x1 )
Dans quel cas f n’est pas continue ?
1) τ 1 est la topologie induite par la valeur absolue sur R∗+ et τ 2 est la topologie induite par la
valeur absolue sur [−1, 1].
2) τ 1 est la topologie discrète sur R∗+ et τ 2 est la topologie induite par la valeur absolue sur
[−1, 1].
3) τ 1 est la topologie grossière sur R∗+ et τ 2 est la topologie grossière sur [−1, 1].
4) τ 1 est la topologie induite par la valeur absolue sur R∗+ et τ 2 est la topologie discrète sur
[−1, 1].
d) Laquelle de ces fonctions ne définit pas une distance sur Z ?
1
1) d(x, y) = |x − y| 3 .
2) d(x, y) = 1 si x 6= y et d(x, y) = 0 sinon.
3) d(x, y) = e−|x−y| .
4) d(x, y) =
|x−y|
.
1+|x−y|
Exercice 2 : Vrai / Faux (Total 10 points, bonne réponse 2 points, mauvaise réponse −1 point)
a) On munit R de la topologie issue de la valeur absolue. Si A et B sont deux parties de R munies
des topologies τA et τB induites par R, alors A ∩ B est fermé dans A si et seulement si A ∩ B
est fermé dans B.
OUI - NON
b) Si A est un ouvert d’un espace topologique (E, τ ) alors ∀B ⊂ E, A ∩ B ⊂ A ∩ B.
OUI - NON
c) Si (E, d) est un espace métrique et x ∈ E alors l’adhérence de la boule ouverte de centre x et
de rayon 1 est égale à la boule fermée de centre x et de rayon 1.
OUI - NON
d) On munit
C de la topologie induite par le module. Si A ⊂ C alors ∂A = ∂(Ac ).
OUI - NON
e) Pour toute partie A d’un espace topologique (E, τ ), on a ∂A = ∂A.
OUI - NON
Bonus : (2 bonnes réponses 1 point, sinon 0 point)
a) Soient (X, τx ) et (Y, τy ) deux espaces topologiques. On dit que les espaces topologiques (X, τx )
et (Y, τy ) sont homéomorphes s’il existe une bijection h de X sur Y qui est bicontinue (c’est
à dire continue et d’inverse continu). Alors les ensembles X et Y sont homéomorphes si et
seulement si il existe f : X → Y et g : Y → X continues et injectives.
OUI - NON
b) Si tous les points d’un espace topologique sont fermés alors il est séparé.
OUI - NON