Corrigé du QCM2 Dans un espace métrique (X, d), l'adhérence de la boule unité ouverte est la boule unité fermée. 1. La réponse est non. Contre-exemple. Soit X = {0, 1} muni de la distance d induite par R, dénie en posant d(0, 1) = 1. La boule ouverte centrée en 0 et de rayon 1, notée B(0, 1[ est le sigleton {0}. Son adhérence, c'est toujours {0} car la topologie induite est discrète (le point {0} est à la fois ouvert et fermé dans X ). Par contre, la boule fermée centrée en 0 et de rayon 1, notée B(0, 1], c'est X tout entier ! 2. L'intérieur d'une partie A est voisinage de chacun de ses points : 2 2 oui non La réponse est oui. L'intérieur d'une partie A est par dénition un ouvert (c'est le plus grand ouvert contenu dans A). Appliquer alors la Proposition 1.2.13 du cours. On munit R de sa topologie usuelle et Z de la topologie induite par celle 2 oui de R. Alors, toute application f : Z −→ R est continue : 2 non 3. La réponse est oui. Par dénition, la fonction f est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert O est un ouvert. Soit donc O un ouvert. On considère l'ensemble f −1 (O). Comme la topologie induite par celle de R sur Z est la topologie discrète (toute partie de Z est à la fois ouverte et fermée), on a bien que f −1 (O) est un ouvert. 4. Soient (X, d) un espace topologique et A une partie de X . Alors : 2 la frontière de A est contenue dans l'adhérence Ē de E := X \ A 2 la frontière de A est fermée pour la topologie induite par (X, d) sur Ē Deux fois oui. Le premier notée F r(A) car : oui vient de la dénition de la frontière de A, F r(A) = Ā ∩ Ē ⊂ Ē où l'on voit aussi que F r(A) peut être réalisé comme l'intersection du fermé Ā de X et de Ē (ce qui implique que c'est fermé dans Ē ).