cours: trigonométrie

C HAPITRE 4
C OURS : T RIGONOMÉTRIE
Extrait du programme de la classe de troisième :
C ONTENU
Triangle rectangle : relations trigonométriques
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Connaître et utiliser dans le triangle
rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un
angle aigu et les longueurs de deux
côtés du triangle.
Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées :
– du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné
– de l’angle aigu dont on connaît le
sinus, le cosinus ou la tangente
C OMMENTAIRES
La définition du cosinus a été vue
en quatrième. Le sinus et la tangente d’un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs
ou à partir du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules :
sin x
cos2 x +sin2 x = 1 et tan x = cos
x.
On n’utilisera pas d’autre unité que
le degré décimal.
1 Relations trigonométriques

Définition : Soit ABC un triangle rectangle en A ; on notera α
b l’angle AC
B. Alors on a :
cos α
b=
Côté adjacent AC
=
Hypoténuse
BC
sin α
b=
Côté opposé AB
=
Hypoténuse BC
tan α
b=
Côté opposé
AB
=
Côté adjacent AC
Illustration :
b
A
Côté opposé à α
b
Bb
Côté adjacent à α
b
Hypoténuse
b
α
C
b
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Cours Trigonométrie
2 Pour quoi faire ?...
2.1 ... Pour calculer des longueurs
Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’un des côtés ainsi que la mesure de l’un
des angles aigus, on peut calculer les longueurs des deux autres côtés.
Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12 cm et α
b = 30◦ . Alors on
peut calculer la longueur du côté [AC ] en utilisant la formule de la tangente :
tan α
b=
d’où
AB
AC
AB
12
=
≃ 20.8 cm
tan α
b tan 30◦
De même on peut calculer la longueur du côté [BC ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en
utilisant la formule du sinus :
AB
sin α
b=
BC
d’où
AB
12
BC =
=
= 24 cm
sin α
b sin 30◦
AC =
2.2 ...Pour calculer des mesures d’angles
Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux des côtés, on peut calculer les mesures des deux angles aigus du triangle.
Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12 cm et AC = 16 cm.

Alors on peut calculer la mesure de l’angle AC
B en utilisant la formule de la tangente :

tan AC
B=
AB 12
=
= 0, 75
AC 16
tan−1
d’où, à l’aide de la calculatrice et de sa touche
tan ,

AC
B ≃ 36, 9◦
Comme les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la mesure
 par :
approchée de l’angle ABC
 = 90◦ − AC

ABC
B ≃ 90 − 36, 9 = 53, 1◦
3ème
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Cours Trigonométrie
3 Formules trigonométriques
Propriété n°1 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α
b quelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x :
0 < cos x < 1
et
0 < sin x < 1
Preuve :
Cela provient du fait que, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long : suppo
sons que x soit la mesure en degrés d’un angle α
b = AC
B dans un triangle ABC rectangle en A (voir
figure page 1).
AC
avec AC < BC (car [BC ] est l’hypoténuse), et donc il vient cos x < 1.
On a alors cos x = cos α
b=
BC
De plus, comme AC et BC sont des longueurs, on a AC > 0 et BC > 0 ;
AC
par conséquent cos x = cos α
b=
>0
BC
Propriété n°2 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α
b quelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x :
cos2 x + sin2 x = 1
Remarques :
Ï On écrit cos2 x pour (cos x)2 , et ceci dans le but d’éviter toute confusion avec cos x 2 , dans le cas où
l’on oublierait d’écrire les parenthèses...
Ï Cette formule peut permettre d’obtenir le sinus d’un angle aigu lorsque l’on connaît son cosinus, et
vice-versa.
Preuve :

Supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α
b = AC
B dans un triangle ABC rectangle en
A (voir figure page 1).
AB
AC
et sin x = sin α
b=
.
BC
BC
Ainsi on peut écrire que
¶ µ
¶
µ
AB 2 AC 2 AB 2 AC 2 + AB 2
AC 2
2
2
+
=
+
=
cos x + sin x =
BC
BC
BC 2 BC 2
BC 2
Or, le triangle ABC étant rectangle en A, le théorème de Pythagore nous dit que AB 2 + AC 2 = BC 2 .
On peut donc conclure :
AC 2 + AB 2 BC 2
cos2 x + sin2 x =
=
=1
BC 2
BC 2
On a alors cos x = cos α
b=
Propriété n°3 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α
b quelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x :
sin x
tan x =
cos x
Preuve :

Supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α
b = AC
B dans un triangle ABC rectangle en
A (voir figure page 1).
AB
AC
et sin x = sin α
b=
.
On a alors cos x = cos α
b=
BC
BC
Ainsi on peut écrire que
AB
AB
AB BC
BC
AB sin x
BC
=
=
×
= ×
=
= tan x
AC
BC AC
cos x
BC AC AC
BC
3ème
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Cours Trigonométrie
4 Mais qui a bien pu inventer tout ça, et pourquoi ?
Hipparque de Nicée
-190/-120
Celui que l’on peut considérer comme le père historique de la trigonométrie (trigonos = triangle, et metron = mesure en grec) est sans doute HIPPARQUE DE NICEE, brillant astronome grec de l’antiquité (né dans l’actuelle Turquie au IIème
siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (donnant des valeurs de ce que l’on appelle aujourd’hui des sinus d’angles), et qui
s’en servit pour recenser les positions exactes de plus de 1000 étoiles au moyen de
l’une de ses inventions, l’astrolabe (qui permet de mesurer la hauteur des astres
sur l’horizon). Ces mesures d’angles permirent l’essor de la navigation, qui nécessite de connaître précisément la position des étoiles sur la voûte céleste. Il est
à noter que c’est lui qui a le premier utilisé la division du cercle en 360 degrés,
empruntée aux Babyloniens, toujours d’actualité aujourd’hui.
PTOLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et compléta l’oeuvre d’HIPPARQUE, notamment dans un ouvrage demeuré célèbre, intitulé l’Almageste, traité complet d’astronomie, compilant le savoir scientifique
des Grecs de l’antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques
extrêmement précises.
Ptolémée
90/168
Al Khwarizmi
780/850
Les calculs seront encore affinés par les mathématiciens Indiens et surtout
Arabes entre le VIème et le Xème siècle ; citons notamment le mathématicien
indien ARYABHATA, mais surtout les mathématiciens arabes AL KHWARIZMI
et AL WAFA ("inventeur" de la tangente) à Bagdad. AL KHWARIZMI est un immense mathématicien, né dans l’actuel Ouzbékistan au IXème siècle, et considéré comme le père de l’algèbre (al-jabr en arabe, terme repris du titre de son
oeuvre majeure, intitulée Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’al-Muqàbala,
traitant de la résolution des équations)
L’astronome et mathématicien allemand REGIOMONTANUS, au XVème siècle,
est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. Après avoir pris
connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie
comme branche à part entière des mathématiques (aujourd’hui on dirait même
"pilier" des mathématiques !), indépendante de l’astronomie, dans un traité fondateur intitulé De triangulis planis etspherici libri quinque, una cum tabuli sinuus, publié de façon posthume en 1561.
Regiomontanus
1436/1476
Les applications actuelles de la trigonométrie sont nombreuses et fondamentales : les fonctions sinus
et cosinus sont certainement celles les plus rencontrées dans les sciences ! En astronomie (depuis l’Antiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfraction), en électricité (courant alternatif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hertziennes ?), en mécanique, etc...
3ème
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Cours Trigonométrie