FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I1 – Fiche 4 Septembre 2016 RAPPELS DE COURS Formules : valeurs remarquables : angles associés : formules d’addition : cos a b cos a cos b sin a sin b sin a b sin a cos b cos a sin b cos a b cos a cos b sin a sin b sin a b sin a cos b cos a sin b formules de duplication : cos 2a cos2 a sin2 a 2 cos2 a 1 1 2 sin2 a sin 2a 2 sin a cos a formules de linéarisation : cos2 a 1 cos 2a 2 sin2 a 1 cos 2a 2 Etudes des fonctions trigonométriques : étude de la fonction cosinus : La fonction cosinus est paire et 2-périodique. On l’étudie donc sur 0; . La fonction cosinus est dérivable sur et cos' sin . x La fonction cosinus est décroissante sur 0; et a pour tableau de variation sur une période : cos La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et invariante par translation de vecteur 2ki , k PTSI – ICAM Lille - -1 0 1 -1 . 2016/2017 étude de la fonction sinus : La fonction sinus est impaire et 2-périodique. On l’étudie donc sur 0; . La fonction sinus est dérivable sur et sin' cos . La fonction sinus est croissante sur 0; et décroissante sur ; et 2 2 a pour tableau de variation sur une période : x - 0 -/2 0 sin -1 étude de la fonction tangente : 1 . La courbe de la fonction sinus est l’image de celle de la fonction cosinus par la translation de vecteur /2 1 La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère et invariante par translation de vecteur 2ki , k 0 i. 2 sin x , x D cos x 0 x k ,k 2 cos x La fonction tangente est impaire et -périodique. On l’étudie donc sur 0; . 2 1 La fonction tangente est dérivable sur 0; et tan' 1 tan2 . 2 cos2 La fonction tangente est croissante sur 0; . 2 La fonction tangente est définie sur D \ k ,k 2 . ( tan x lim tan x ( lim sin x 1 et lim cos x 0 d’où le résultat par quotient) x / 2 x / 2 x / 2 x / 2 x / 2 La fonction tangente admet le tableau de variation suivant sur une période : La courbe représentative de la fonction tangente est symétrique par rapport à l’origine x -/2 0 ) /2 + 0 tan - du repère et invariante par translation de vecteur ki , k . PTSI – ICAM Lille 2016/2017 METHODE Résolution d’une inéquation trigonométrique : exemple : Résoudre 3 2 sin x 0 sur 0; 2 . On isole cos ou sin. 3 2 On repère l’angle remarquable sur le cercle trigonométrique et on représente l’ensemble exemple : 3 2 sin x 0 2 sin x 3 sin x des solutions sur ce cercle. 3 2 x ou x sur 0; 2 2 3 3 On conclut en considérant l’intervalle de résolution imposé. exemple : sin x L’ensemble des solutions peut être une réunion d’intervalles. 2 exemple : S 0; ; 2 3 3 EXERCICE 1 Résoudre les équations et inéquations suivantes sur I : 1. 1 2 cos x 0 et I 0; 2 3. 2. sin 2x sin x et I ; 4. 3 sin x cos x 2 et I cos 2x sin x et I ; 5. 6. 2 cos 2 x 1 0 et I ; 6 1 2 sin 2 x 0 et I 0; 2 3. On pourra diviser l’égalité par 2 et reconnaître une formule d’addition. 4. On pourra utiliser une formule de duplication et poser une inconnue auxiliaire. EXERCICE 2 Soit f la fonction définie sur par f x cos 2 x sin2 x et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal O ,i, j . 1. a. Montrer que f est -périodique. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ? b. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ? c. Justifier le choix de l’intervalle 0 ; comme intervalle d’étude de la fonction f. 2 2. a. Calculer la dérivée de la fonction f et montrer que pour tout réel x, f ' x sin 2 x . b. Etudier le sens de variation de la fonction f sur 0 ; et dresser son tableau de variation sur une période. 2 3. Tracer la courbeC sur une période. PTSI – ICAM Lille 2016/2017