Feuille de TD 2015/2016 - Irma

Université de Strasbourg
Licence Math-info/ Math-éco
Automne 2015
Algèbre S1
§ A. Divisibilité
Exercice 1. — Montrer que pour tout n ∈ N, l’entier 7n − 1 est divisible par 6.
Exercice 2. — Soient a, b ∈ N∗ . On note q le quotient de la division euclidienne de a par b et r son reste.
Supposons que r > q. Quel est le quotient de la division euclidienne de a par b + 1 ?
Exercice 3. — Soient a, b ∈ N∗ tels que a > b. Comparer les quotients et les restes des divisions euclidiennes
de a par a − b et de b par a − b.
Exercice 4. — Soient m, n ∈ N∗ tels que m > n et soit r le reste de la division euclidienne de m par n. Quel
est le reste de la division euclidienne de 2m − 1 par 2n − 1 ?
§ B. pgcd et ppcm
N.B. — Dans la suite, le pgcd de deux entiers a, b (non tous deux nuls) est noté pgcd (a, b) ou a ∧ b. De même,
le ppcm de deux entiers a, b est noté ppcm (a, b) ou a ∨ b.
Exercice 5. — Montrer
que
√
p ∈ Z, q ∈ N∗ et 2 = p/q.
√
2 est un nombre irrationel, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’entiers p, q tels que
Exercice 6. — Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux. Montrer que pgcd (a − b, a + b) vaut 1 ou 2.
Exercice 7. — Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux. Montrer que pgcd (a + b, b) = 1 puis que pgcd (a + b, ab) =
1.
Exercice 8. — Soient a, b des entiers non tous les deux nuls. Montrer qu’alors 15a + 4b et 11a + 3b ne sont pas
tous les deux nuls et montrer que leur pgcd vaut pgcd (a, b).
Exercice 9. — Soient a, b, c ∈ N∗ .
1o) Montrer que si pgcd (a, b) = pgcd (a, c) = 1, alors pgcd (a, bc) = 1.
2o) En déduire que si a et b sont premiers entre eux, alors pour tout (p, n) ∈ N2 , les entiers ap et bn sont aussi
premiers entre eux.
Exercice 10. — Soit n ∈ N et soit p ∈ N tel que p > 2.
1o) Montrer que pgcd (pn − 1, p) = 1. En déduire la valeur de
pgcd (p2n − 1, pn+1 − p).
2o) Montrer que pgcd pn ,
Pn−1
k=0
pk = 1 et en déduire la valeur de pgcd (pn+1 − pn , pn − 1).
n
Exercice 11. — Pour tout n ∈ N, on pose Fn = 22 + 1.
1o) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗ , on a Fn − 2 =
Qn−1
p=0
Fp .
∗
2o) En déduire que pour tout n ∈ N et tout k ∈ N , les entiers Fn et Fn+k sont premiers entre eux.
Remarque. — Les nombres Fn sont appelés nombres de Fermat (mathématicien et juriste français, 1601–1665).
1
2
§ C. Équations diophantiennes
Exercice 12. — Résoudre dans Z l’équation xy = 2x + 3y.
Exercice 13. — 1o) Calculer 637 ∧ 595.
2o) L’équation diophantienne 637x + 595y = 91 admet-elle des solutions ? Si oui, les déterminer toutes.
3o) L’équation diophantienne 637x + 595y = 143 admet-elle des solutions ? Si oui, les déterminer toutes.
Exercice 14. — Résoudre les équations diophantiennes suivantes :
(a) 9x + 15y = 82,
(b) 205x + 93y = 1,
(c) 693x + 1911y = 42,
(d) 56x + 72y = 36.
Exercice 15. — Un groupe de 48 personnes veut acheter des pâtisseries à raison d’une par personne. Les
pâtisseries sont conditionnées en lots de 10 et en lots de 6.
1o) Quelle équation diophantienne correspond à cette situation ? La résoudre.
2o) Le lots de 10 pâtisseries coûte 20 euros et le lot de 6 en coûte 15. Quelle est la solution la plus économique
pour le groupe ?
Exercice 16. — Trouver tous les couples d’entiers (x, y) tels que xy = 2700 et x ∧ y = 6.
Exercice 17 (CC3 Décembre 2010). — Résoudre l’équation diophantienne d’inconnues x, y ∈ Z suivante :
340x + 138y = 6
Exercice 18 (CC2 Novembre 2011). — Résoudre dans Z2 l’équation diophantienne
42x + 35y = 8
Exercice 19 (CC2 Novembre 2013). — Déterminer l’ensemble des couples d’entiers (x, y) solutions de
l’équation Diophantienne
15x + 6y = 21
Exercice 20 (CC2 Avril 2014). — Un de vos camarades collectionne les figurines d’heroic fantasy. Il commence à les ranger dans des caisses à 64 places. Il lui reste 16 figurines. Il change d’avis et les range dans des
caisses à 15 places. Il reste 5 figurines. Combien peut-il avoir de figurines ? (donner toutes les solutions possibles).
Exercice 21 (CC2 Novembre 2014). — On considère l’équation Diophantienne suivante
152x + 29y = 3
(a) Montrer que cette équation admet une solution.
(b) Calculer une solution particulière de cette équation.
(c) En déduire toutes les solutions de cette équation en détaillant bien le raisonnement.
§ D. Nombres premiers
Exercice 22. — Soit n ∈ N∗ . Montrer par contraposition que si 2n − 1 est un nombre premier, alors n est un
nombre premier. La réciproque est-elle vraie ?
Remarque. — Les nombres de la forme 2n − 1 avec n premier sont appelés nombres de Mersenne (moine,
mathématicien et philosophe français, 1588–1648) ; on les note Mn . Le plus grand nombre premier connu à ce
jour est M32582657 ; il comporte 9808358 chiffres.
3
Exercice 23. — 1o) Soit p un nombre premier et soit α ∈ N∗ . Déterminer le nombre de diviseurs positifs de pα .
2o) Soient p et q des nombres premiers distincts. Quels sont les diviseurs positifs de p2 q ? Donner également
la liste des diviseurs de p3 q 2 .
Exercice 24. — Trouver 1000 entiers consécutifs non premiers.
Exercice 25. — 1o) Décomposer 8160 en produit de facteurs premiers.
2o) Trouver tous les entiers a, b ∈ N∗ tels que a > b, a ∧ b = 5 et a ∨ b = 8160.
Exercice 26. — Démontrer à partir du résultat de l’exercice 11 qu’il y a une infinité de nombres premiers.
§ E. Congruences
Exercice 27. — Soient a, b, c, d, m, n des entiers tels que m > 2 et n > 2. Démontrer les propriétés suivantes :
1o) a ≡ b [m] =⇒ b ≡ a [m].
2o) (a ≡ b [m]) et (b ≡ c [m]) =⇒ a ≡ c [m].
3o) (a ≡ b [m]) et (c ≡ d [m]) =⇒ a + c ≡ b + d [m].
4o) (a ≡ b [m]) et (c ≡ d [m]) =⇒ ac ≡ bd [m].
5o) (ac ≡ bc [m]) et (m ∧ c = 1) =⇒ a ≡ b [m].
6o) (ac ≡ bc [mc]) et (c 6= 0) =⇒ a ≡ b [m].
7o) (a ≡ b [n]) et (m | n) =⇒ a ≡ b [m].
8o) (a ≡ b [m]) et (a ≡ b [n]) et (m ∧ n = 1) =⇒ a ≡ b [mn].
Exercice 28. — Démontrer les critères de divisibilité suivants :
1o) Un entier est divisible par 2 si et seulement si son dernier chiffre est pair.
2o) Un entier est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est 0 ou 5.
3o) Un entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
4o) Un entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible
par 4.
5o) Un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
6o) Un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11 (par
exemple, la somme alternée des chiffres de 1728 est 1 − 7 + 2 − 8 = −12).
Exercice 29. — À l’aide d’un tableau de congruences, montrer que pour tout a ∈ Z, l’entier a2 + 3 n’est pas
divisible par 5.
Exercice 30. — Montrer que pour tout n ∈ N, on a 106n + 103n ≡ 2 [111].
Exercice 31. — Soit a ∈ Z. Montrer que a2 est congru à 0, 1 ou 4 modulo 8. En déduire que pour tout n ∈ N,
l’équation a2 + b2 + c2 = 8n − 1 n’admet aucune solution (a, b, c) ∈ Z3 .
Exercice 32. — 1o) Quel est le reste de la division euclidienne de 218 par 7 ?
2o) Quel est le reste de la division euclidienne de 249 par 7 ?
3o) Quel est le reste de la division euclidienne de 6221 par 7 ?
4o) Quel est le reste de la division euclidienne de 247349 par 7 ?
5o) Quel est le reste de la division euclidienne de 22223333 + 33332222 par 5 ?
4
Exercice 33. — Résoudre les équations suivantes :
1o) 3x ≡ 5 [7],
2o) 2x ≡ 5 [6],
3o) 2x ≡ 4 [6].
Exercice 34. — Résoudre les systèmes suivants :
(
x ≡ 3 [7],
o
1)
x ≡ 5 [19];
(
x ≡ 2 [18],
2o)
x ≡ 8 [45];
(
x ≡ 2 [18],
3o)
x ≡ 11 [45].
Exercice 35. — Déterminer les éléments inversibles de Z/6Z et dresser la table de multiplication de Z/6Z.
Même question pour Z/12Z.
Exercice 36. — Résoudre dans Z/12Z les équations suivantes :
1o) 7(x + 4) = 0,
2o) 3(x + 4) = 0.
Exercice 37 (CC2 Novembre 2010). —
chinois.
1o) Rappeller l’énoncé du théorème de Bézout et du théorème
2o) Calculer le pgcd de 627 et 440. Donner une identité de Bézout pour ces deux nombres.
(
x ≡ 13 [627],
o
3 ) On considère dans Z le système de congruences :
x ≡ 46 [440];
4o) Résoudre sur Z l’équation diophantienne 627x − 440y = 33.
5o) Résoudre sur Z le système précédent.
Exercice 38 (CC3 Décembre 2010). — Soient x et y deux entiers vérifiant
2
x+y
=
(1)
2
2
x − xy + y
7
1o) Montrer que x + y et x − y sont pairs.
2o) Soient u et v deux entiers tels que 2u = x + y et 2v = x − y. Montrer que l’on a
2(7 − u) = 3v 2
3o) En déduire les solutions de l’équation (1).
Exercice 39 (CC2 Novembre 2011). — Le 5 mars 2013 est un mardi. Quel jour sera-t-on le 5 mars 2014 ?
NB : Les réponses qui ne comporteront pas de formalisation mathématique seront notées 0.
Exercice 40 (CC2 Novembre 2011). — L’objectif est de résoudre dans Z l’équation
(E)
39x2 + 19x + 22 ≡ 0
[55]
1) Trouver des entiers u et v tels que 39u + 55v = 1
2) En déduire que 39 est inversible dans Z/55Z et calculer son inverse.
3) Montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation
(E 0 )
x2 + 16x + 33 ≡ 0
[55]
5
4) En déduire que si x est solution de (E 0 ), alors
(
x2 + x + 3
x2 + 5x
≡ 0 [5]
≡ 0 [11]
(1)
5) Résoudre dans Z/5Z l’équation x2 + x + 3 = 0
Résoudre dans Z/11Z l’équation x2 + 5x = 0
6) En appliquant le théorème chinois, déterminer les solutions de (E) dans Z/55Z
NB : Les questions 5) et 6) sont sur 6 points à elles deux et sont indépendantes du reste du problème
Exercice 41 (CC3 Décembre 2011). — Sur un bateau, 17 pirates souhaitent se partager leur butin de x
pièces d’or en parts égales. Ils font donc 17 tas. Il reste 3 pièces qu’ils prévoient de donner à leur cuisinier chinois,
lorsqu’éclate une bagarre qui fait 6 morts. Aucune pièce n’est perdue mais il faut refaire le partage. Ce nouveau
partage en parts égales laisse 4 pièces au cuisinier chinois. A ce moment, le cuisinier envisage d’empoisonner
tout l’équipage pour garder le butin pour lui seul. Quelle est la plus petite valeur possible de x, que peut alors
espérer obtenir le cuisinier ?
Exercice 42 (CC2 Novembre 2012). — Montrer que pour tout n ∈ N, 11 divise 26n+5 + 32n .
Exercice 43 (CC2 Novembre 2012). — L’objet de l’exercice est de résoudre l’équation x2 + 1 ≡ 0
1) Montrer que x est solution si et seulement si
(x ≡ 5
[13]
x≡8
ou
[13])
et
(x ≡ 2
[5]
ou
x≡3
[5])
2) Si m et n sont des entiers tels que 5m + 13n = 0, montrer que 13 divise m et 5 divise n.
3) Trouver u et v tels que 13u + 5v = 1.
4) Résoudre
(
5) Sachant que x ≡ 8
x ≡5
x ≡2
(
x
x
[13]
[5]
[13] si et seulement si −x ≡ 5
≡5
≡2
[13]
[5]
[13], trouver toutes les solutions entre 0 et 64 de
x2 + 1 ≡ 0
[65]
Exercice 44 (CC2 Novembre 2013). — On fixe un entier positif n.
a) Montrer que lorsque n est impair, 8 divise 7n + 1.
b) Lorsque n est pair, déterminer le reste de la division par 7n + 1 par 8.
Exercice 45 (CC2 Novembre 2013). — Déterminer l’ensemble des entiers x solutions de l’équation
(
x ≡ 5 [13]
x ≡ 4 [19]
Exercice 46 (CC2 Avril 2014). — 1) Calculer 3k modulo 10 pour k allant de 0 à 4.
2) Calculer en fonction de l’entier positif n le reste de la division Euclidienne de 3n par 10.
3) Montrer que pour tout entier positif n, 19n − 32n est divisible par 10.
Exercice 47 (CC3 Juin 2014). — Soit n un nombre entier premier strictement supérieur à 3.
1) Montrer qu’alors n ≡ 1[6] ou n ≡ −1[6].
2) Citer trois nombres n qui vérifient n ≡ 1[6] ou n ≡ −1[6] qui ne sont pas premiers.
[65]
6
Exercice 48 (CC2 Novembre 2014). — Montrer que l’équation
42x3 − 15x2 + 3x + 2 = 0
n’admet pas de solution entière. Justifier.
Indication : on pourra supposer qu’une telle solution x ∈ Z existe et traduire l’équation en terme de congruence
modulo un entier n judicieusement choisi.
Exercice 49 (CC2 Novembre 2014). —
(a) Donner la liste des nombres premiers plus petits que 15.
(b) En déduire que 223 est un nombre premier.
(c) Montrer que 223 divise 666666 − 1.
Exercice 50 (CC3 Décembre 2014). — Déterminer l’ensemble des entiers x solutions de l’équation
(
x ≡ 17 [24]
x ≡ 2 [9]
§ F. Calculs sur les polynômes
Dans toute cette feuille, la lettre K désigne Q, R ou C.
Exercice 51. — Trouver un polynôme P à coefficients dans Q tel que
P (1) = 2,
P (2) = 1,
P (4) = 7.
Exercice 52. — Soit P (X) = a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 + an X n ∈ Q[X].
(a) On suppose que ai ∈ Z pour tout 0 ≤ i ≤ n. Montrer que si le rationnel p/q (avec p ∈ Z, q ∈ N∗ et
pgcd(p, q) = 1) est racine de P , alors p divise a0 et q divise an .
(b) Que peut-on en déduire si le polynôme P est unitaire ?
(c) Montrer que le polynôme P (X) = 6X 3 − 2X 2 + 3X + 4 n’a pas de racine rationnelle.
§ G. Division euclidienne
Exercice 53. — Soient P (X) = X 5 + X 4 + αX 3 + βX 2 + 5X − 2 et Q(X) = X 3 − 2X + 1 deux éléments de
K[X], avec α, β ∈ K. Déterminer α et β pour que Q divise P .
Exercice 54. — Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de P par Q :
(a) P (X) = X 7 + 2X 3 − X 2 + 1 et Q(X) = X 2 + X + 2
(b) P (X) = 2X 8 et Q(X) = X 3 − 2X 2 + 1
(c) P (X) = (1 + i)X 4 − 5X 2 + (2i − 1)X + 7 et Q(X) = X 2 − iX + (i − 1)
§ H. Irréductibilité
Exercice 55. — On considère les polynômes de R[X] suivants : P (X) = X 4 + 2X 3 + 3X 2 + 2X et Q(X) =
X2 + X + 2
(a) Le polynôme P a deux racines évidentes : lesquelles ? Décomposer P en produit de polynômes irréductibles de R[X].
(b) Déterminer le pgcd unitaire de P et Q dans R[X].
(c) Soit S ∈ R[X].
(a) À quelle condition peut-on écrire, dans R[X], le polynôme S sous la forme S = U P + V Q (?).
(b) Prenons S = X 3 + X − 2. Déterminer les couples (U, V ) de polynômes satisfaisant (?).
7
Exercice 56. — Soit P (X) = 16X 5 − 20X 3 + 5X − 1.
(a) Effectuer la division euclidienne de P par son polynôme dérivé P 0 .
(b) Factoriser P dans R[X].
Exercice 57 (Examen Septembre 07). — Soit le polynôme P (X) = X 3 + X 2 − 2X − 8.
(a) Montrer que P admet une racine et une seule, α, que l’on déterminera.
(b) Factoriser le polynôme P dans R[X] et C[X].
Exercice 58. — On considère le polynôme réel P (X) = X 6 + X 5 + X 4 − aX 2 − X − b, où a, b ∈ R.
(a) À quelle condition sur a et b le polynôme X 3 − 1 divise-t-il P ?
(b) On suppose que X 3 − 1 divise P .
(a) Décomposer P en produit de polynômes irréductibles dans R[X].
(b) Même question dans C[X].
Exercice 59. — Montrer que le polynôme P (X) = X 3 + X − 1 est irréductible dans Q[X].
Exercice 60 (Examen Septembre 08). —
C[X] ?
(a) Quels sont les polynômes irréductibles dans R[X] ? dans
(b) Décomposer en produit de polynômes irréductibles dans R[X] les polynômes suivants :
X 3 + 1,
X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1.
(c) Même question dans C[X].
Exercice 61 (CC3 Décembre 2010). — Dans C[X], on considère les polynômes
P (X) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1, Q(X) = X 3 − 3X 2 + X − 3.
(a) Faire la division euclidienne de P par Q.
(b) Le polynôme Q admet une racine réelle évidente : laquelle ? Décomposer Q en produit de polynômes
irréductibles dans C[X].
(c) En déduire une décomposition de P en produit de polynômes irréductibles dans C[X].
(d) Donner le pgcd de P et Q.
Exercice 62 (CC3 Décembre 2011). — Soit n un entier au moins égal à 2. Soit P = (X + 1)n − (X − 1)n ∈
C[X].
(a) Montrer que 1 n’est pas racine de P .
(b) Montrer que P admet au moins une racine dans C.
(c) Quelles sont les racines complexes du polynôme Q = X n − 1 ?
α+1
(d) Soit α ∈ C une racine de P . Calculer Q α−1
.
(e) En déduire toutes les racines de P .
Exercice 63 (CC3 Décembre 2011). — Soit P = X 3 − 6X 2 + 11X − 6 ∈ R[X].
(a) Décomposer P en facteurs irréductibles de R[X]. Quelles sont les racines réelles de P ?
(b) On considère les matrices

0
C= 1
0
0
0
1

6
−11  ,
6

1
I3 =  0
0
0
1
0

0
0 .
1
Soit λ ∈ R. Montrer que det(C − λI3 ) = −P (λ). Pour quelle(s) valeur(s) de λ la matrice C − λI3 est-elle
inversible ?
8
(c) On pose

1
V = 1
1

1
4 .
9
1
2
3
Montrer que V est inversible et calculer son inverse.
(d) Calculer V CV −1 . Que constate-t-on ?
Exercice 64 (CC3 Décembre 2011). — Soient A et B deux polynômes à coefficients dans Q.
(a) On effectue la division euclidienne de A par B dans Q[X] :
A = BQ + R.
Montrer que la division euclidienne de A par B dans C[X] est également A = BQ + R.
(b) On suppose que A et B sont premiers entre eux dans Q[X]. Déduire de 1) que A et B sont aussi premiers
entre eux dans C[X].
(c) Soit P un polynôme irréductible de Q[X]. Montrer que P et son polynôme dérivé P 0 sont premiers entre
eux dans Q[X].
(d) Déduire de b) et c) que P n’a pas de racine double dans C.
Exercice 65 (CC3 Décembre 2012). — Soit un la suite récurrente d’ordre 3 définie par un+3 = un+2 +
un+1 + un pour tout n appartenant à N et par (u2 , u1 , u0 ) = (4, 1, 2).
Première partie Les trois parties sont indépendantes.
(a) Montrer que pour tout n de N :

 
un+3
1
 un+2  =  1
0
un+1


un+2
−1
0   un+1 
0
un
1
0
1
(b) Montrer que pour b réel det(A − bI3 ) = −P (b) avec P = X 3 − X 2 − X + 1 avec

1
A= 1
0
1
0
1

−1
0 
0

1
I3 =  0
0
0
1
0

0
0 
1
(c) Décomposer P en facteurs irréductibles de R[X]. Quelles sont ses racines ?
(d) Pour quelles valeurs de b la matrice (A − bI3 ) est-elle inversible ?
Deuxième partie
Soit n un entier naturel, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de R[X] tels que : X n = Q(X)P (X) +
R(X) avec deg(R) < 3 (division euclidienne). Nous écrivons R(X) = aX 2 + bX + c, avec a, b, c des nombres
réels.
(a) Trouver trois racines, pas nécessairement distinctes, de X n − R(X).
(b) Soit n = 2k et k ∈ Z. Montrer que les coefficients a, b, c satisfont le système d’équations :

 a+b+c =1
2a + b = n

a − b + c = 1.
(c) Déterminer le polynôme R(X) pour n = 2k.
Troisième partie
(a) Pour toute n = 2k, montrer que

k+1
An =  k
k
0
1
0

−k
−k 
−k + 1
9
(b) Montrer que pour tout n de N :




un+3
u2
 un+2  = An+1  u1 
un+1
u0
(c) Trouver u2012 .
Exercice 66 (CC3 Décembre 2012). — Soit P ∈ C[X] un polynôme tel que XP (X − 1) = (X − 2)P (X),
deg(P ) ≤ n et n ≥ 2.
(a) Montrer que 0 et 1 sont racines de P .
(b) On suppose que P admet une racine a ∈ C non entière.
(a) Montrer que a − 1 et a + 1 sont aussi racines.
(b) Montrer que P admet une infinité de racines.
(c) En déduire que P = 0.
(c) On suppose maintenant que P est non nul, donc il ne peut donc pas avoir de racine non entière.
(a) Montrer comme à la question (2) que 0 et 1 sont les seules racines de P .
(b) En déduire que P est de la forme αxk (x − 1)l avec α ∈ C, k, l ∈ N∗ , k + l ≤ n.
Exercice 67 (CC3 Décembre 2012). — Soit P ∈ Z[X] tel que P (0) et P (1) sont impairs. Montrer que P
n’a pas de zéro dans Z.
Indication : considérer x ∈ Z. Calculer P (x) modulo 2.
Exercice 68 (CC3 Décembre 2013). — Soit P le polynôme
P = X 4 − 2X 3 + 3X 2 − 2X + 1
(a) Calculer D = pgcd(P, P 0 ).
(b) Trouver deux polynômes U et V tels que D = U P + V P 0 .
(c) Déterminer les racines doubles de P dans C.
(d) Ecrire P comme produit de polynômes irréductibles dans R[X].
(e) De même dans C[X].
Exercice 69 (CC3 Décembre 2013). — Soit n ∈ N? ,
P = (X + 1)n − X n − 1
Le but de l’exercice est de déterminer n ∈ N? tel que P ait une racine multiple dans C.
(a) Soit a ∈ C. Montrer que si a est une racine multiple de P , alors
(a + 1)n − an − 1 = 0
et
n(a + 1)n−1 − nan−1 = 0
(b) Montrer que (a + 1)n−1 = an−1 = 1.
(c) Montrer que |a| = 1 et |a + 1| = 1.
(d) En déduire que a = − 12 + i
√
3
2
ou a = − 21 − i
Dans la suite, on pose a1 = − 12 + i
√
3
2
√
3
2 .
et a2 = − 21 − i
√
3
2 .
(e) Mettre les solutions a1 et a2 sous forme polaire reiϑ . En déduire que n − 1 est un multiple de 3.
(f) Supposons que n = 1 + 3k, avec k ∈ N? . Montrer que si a1 est une racine multiple de P , alors k est pair.
On admettra que si a2 est une racine multiple de P , alors k est pair.
(g) Réciproquement, montrer que si n ≡ 1[6], alors a1 et a2 sont des racines multiples de P . Conclure.
10
Exercice 70 (CC3 Juin 2014). — On considère le polynôme P = X 4 − X 3 − X + 1.
1) Montrer que 1 est une racine multiple de P .
2) En déduire la décomposition de P en facteurs premiers dans R[X] et C[X].
Exercice 71 (CC3 Juin 2014). — On considère le polynôme de C[X]
n
X
Xk
Pn =
k!
k=0
Pn a-t-il une racine multiple ?
Exercice 72 (CC3 Décembre 2014). — On considère le polynôme P = X 5 + X 4 + 2X 3 + 2X 2 + X + 1
(a) Trouver une racine évidente du polynôme P .
(b) Montrer que i est racine multiple de P dans C.
(c) Montrer qu’il existe alors une deuxième racine multiple de P que l’on déterminera.
(d) Décomposer P comme produit de polynômes irréductibles dans R[X].
Exercice 73 (CC3 Décembre 2014). — On rappelle que si P ∈ R[X], on note P 0 le polynôme dérivé de
P et P 00 = (P 0 )0 la dérivée seconde de P . Le but de cet exercice est de trouver tous les polynômes P ∈ R[X]
solutions de l’équation
(E) : (2X 2 + 1)P 00 (X) − 12P (X) = 0.
(a) Si P est non nul, de degré n, et P (X) = an X n + . . . + a1 X + a0 (avec an 6= 0), montrer que le coefficient
du terme de degré n du polynôme (2X 2 + 1)P 00 (X) est 2n(n − 1)an .
(b) Quel est, lorsque P est non nul, le coefficient du terme de degré n du polynôme (2X 2 + 1)P 00 (X) −
12P (X) ?
(c) En déduire que si P est solution non nulle du problème posé, alors nécessairement n = 3.
(d) On considère alors P de la forme P (X) = aX 3 + bX 2 + cX + d, avec a non nul. Calculer explicitement
(2X 2 + 1)P 00 (X) − 12P (X).
(e) En déduire que toutes les solutions de (E) sont proportionnelles à un même polynôme de degré 3 que
l’on déterminera.
Exercice 74 (CC3 Décembre 2014). — Soit P = X 3 − 5X 2 + 8X − 4 dans R[X].
(a) Trouver une racine évidente de P et décomposer P en produit de polynômes irréductibles de R[X].
(b) On considère les matrices

3
A= 2
1
−1
0
−1

1
1 ,
2

1
I3 =  0
0
0
1
0

0
0 .
1
Soit λ ∈ R. Calculer le déterminant de la matrice A − λI3 . Comparer ce déterminant avec le polynôme
P.
(c) Pour quelle(s) valeur(s) de λ la matrice A − λI3 est-elle inversible ?
(d) Calculer A3 − 5A2 + 8A − 4I3
(e) En déduire la matrice inverse A−1 en fonction de A.
§ I. Nombres complexes
Exercice 75. —
1. Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :
√
z1 = 1 + i 3; z2 = 5 − 12i; z3 = 9 + 40i; z4 = −12 − 16i.
2. Résoudre dans C les équations suivantes (on pourra utiliser la forme polaire)
√
2π
z 2 = 3 − 4i; z 2 = −2 3 + 2i; z 2 = 4e 3 ; z 6 = −1; z 3 = 1 + i.
11
Exercice 76. — Résoudre dans C les équations suivantes
1.
2.
3.
4.
iz 2 + (1 − 5i)z + 6i − 2 = 0 ;
(2 + 3i)z 2 + (i − 8)z + (1 − 5i) = 0 ;
2z 2 + (5 + i)z + 2 + 2i = 0 ;
(2 + i)z 2 + (2i − 6)z + 4 + 7i = 0.
Exercice 77. —
1.
2.
3.
4.
Résoudre sous forme polaire z 4 = i.
Résoudre sous forme algébrique z 2 = i.
En utilisant ce qui précède, résoudre sous forme algébrique z 4 = i.
En déduire les valeurs de cos (π/8) et sin (π/8).
Exercice 78. —
√
1. Calculer les racines carrées de 1 + i 3 et de 5 − 12i.
2. Calculer les racines quatrièmes de −1 et les racines cinquièmes de
√1+i .
3−i
Exercice 79 (CC d’analyse 2009-2010). —
On veut résoudre dans C l’équation suivante :
z 3 − (4i − 2)z 2 − 2(2 + 3i)z − 4(2 − i) = 0.
(2)
1. Déterminer les racines carrées complexes de −8i.
2. Montrer que l’équation (2) admet une solution réelle que l’on déterminera.
3. Résoudre (2).
Exercice 80 (Examen d’analyse 2008-2009, Session 1). —
1. Résoudre dans C l’équation :
z 7 − 1 = 0.
6
5
(3)
4
3
2
2. Établir que, si z 6= 1 est solution de (3), z vérifie z + z + z + z + z + z + 1 = 0.
3. Établir que, si z est solution de (3), son conjugué z̄ vérifie, pour k ∈ {0, . . . , 7}, z̄ k = z 7−k .
4. Déduire des questions précédentes que
2π
4π
6π
1
cos
+ cos
+ cos
=− .
7
7
7
2
Exercice 81. —
(z)
1. Soit z 6= 1. Ecrire 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 = Pz−1
où P est un polynôme.
2π
2. Pour z = e 5 i , calculer z −2 + z −1 + 1 + z + z 2 .
1
−1
3. Soit x = cos 2π
). Calculer x + x2 . En déduire x.
5 = 2 (z + z
Exercice 82. — Soit x ∈]0, 2π[. Simplifier les expressions, pour un entier n non nul :
A = 1 + eix + · · · + einx ; C = 1 + cos x + · · · + cos nx; S = sin x + · · · + sin nx.
Exercice 83 (CC1 d’analyse Mars 2010). —
On considère le nombre complexe
1−i
a= √
3−i
a) Calculer le module et l’argument de a
b) Résoudre dans C l’équation
z3 = a
12
Exercice 84 (CC1 d’analyse Février 2011). —
On considère les nombres complexes z = e
2iπ
5
, α = z + z 4 et β = z 2 + z 3
1) Montrer que α + β + 1 = 0
2) Montrer que α et β sont réels.
3) En déduire un lien entre α et cos( 2π
5 )
4) Montrer que α et β sont solutions de l’équation
X2 + X − 1 = 0
5) Résoudre l’équation X 2 + X − 1 = 0
6) En déduire la valeur de cos( 2π
5 )
Exercice 85 (CC1 d’analyse Octobre 2011). —
1) Calculer les racines carrées complexes de :
−8 + 6i.
2) Résoudre dans C l’équation
z 2 − (1 − i)z + 2(1 − i) = 0.
Exercice 86 (CC1 d’analyse Octobre 2011). —
1) Rappeler les solutions de l’équation
z 7 = 1.
On les notera α0 , α1 , . . . , α6 .
2) Soit k ∈ {0, 1, . . . , 6}. Montrer que
2 cos
kπ
7
eikπ/7 = 1 + αk
(Indication : on pourra utiliser la formule d’Euler)
3) Soit k ∈ {0, 1 . . . , 6}. Calculer
(1 + αk )7 .
4) En déduire que les 7 points du plan complexe d’affixe
(1 + α0 )7 , (1 + α1 )7 , . . . , (1 + α6 )7
sont alignés.e
Exercice 87 (CC3 d’analyse Décembre 2011). —
Résoudre dans C l’équation
z 3 = −1
Exprimer les solutions sous forme algébrique.
13
§ J. Matrices
Exercice 88. — Écrire explicitement la matrice A = (aij ) à n lignes et p colonnes dans les cas suivants :
1. n = 2, p = 3 et aij = i + j.
2. n = 4, p = 3 et aij = min(i, j).
3. n = 2, p = 3 et aij = j (−1)i .
4. n = 5, p = 5 et aij = δij où δ est le symbole de Kronecker défini par δij =
1
0
si i = j
.
sinon
5. n = 4, p = 4 et aij = (1 − δij ) i j.
jπ
6. n = 3, p = 3 et aij = cos( iπ
3 ) sin( 3 ).
Exercice 89. — Considérons les quatre matrices


1
3
1 0 1
M=
, N =  −1 7 
1 3 9
2
4
Q=
1
2
0
0

−2

7
P =
8
−1
3
9

4
5 
5
Parmi les calculs suivants, déterminer ceux qui sont licites et ceux qui ne le sont pas et effectuer les calculs
lorsqu’ils sont possibles.
(a) N P ,
(b) P N ,
(c) M N + Q2 ,
(d) M N + P ,
(e)
t
M Q + N Q,
(f) (QM )N + t Q
Exercice 90. — Parmis les matrices suivantes lesquelles sont toujours égales à (A + B)2 ?
(B + A)2 ,
A2 + 2AB + B 2 ,
A(A + B) + B(A + B),
(A + B)(B + A),
A2 + AB + BA + B 2
Exercice 91. — Soit A ∈ M2 (R), décrire les colonnes de EA et les lignes de AE lorsque E =
1
0
7
1
.
Exercice 92. — Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure (i.e : les
coefficients sous la diagonale sont tous nuls). Calculer le produit suivant :

 

1 0 1
1 3
−1
 0 2 9   0 −1 7 
0 0 3
0 0
5
puis déduire la proposition de la règle de calcul du produit matricielle.
Exercice 93. — Calculer explicitement An (n ∈ N) pour A =
1
1
1
1

0
puis pour A =  0
1
0
1
0

1
0 .
0
Exercice 94. — Pour tout nombre réel θ, on pose
cos(θ) − sin(θ)
R(θ) =
sin(θ) cos(θ)
1. Montrer que quels que soient θ1 , θ2 ∈ R : R(θ1 + θ2 ) = R(θ1 )R(θ2 ).
2. En déduire que quels que soient θ ∈ R et n ∈ N : R(θ)n = R(nθ).
3. Soient a et b des nombres réels. On suppose b 6= 0 et l’on considère la matrice
a −b
A=
b a
Montrer qu’il existe un unique nombre λ > 0 et un unique nombre θ ∈ ]0, 2π[ tels que A = λR(θ).
14
4. Calculer
−1
√
3
√ n
− 3
pour tout entier n ∈ N.
−1
Exercice 95. — Soient a, b ∈ C. Montrer que l’on a pour tout entier n ≥ 0 :
a
0
b
a
n
=
an
0
nan−1 b
an
Exercice 96. — Soit

1
A= 0
0

3
2 
1
2
1
0
(a) Calculer (A − I)n pour tout n ∈ N.
(b) Calculer An pour tout n ∈ N.
(c) Soient (un ), (vn ) et (wn ) trois suites

 un
vn

wn
réelles définies par la données de u0 , v0 , w0 et
=
=
=
un−1 + 2vn−1 + 3wn−1
vn−1 + 2wn−1
wn−1
Calculer (un ), (vn ) et (wn ) en fonction de n, u0 , v0 et w0 .
Exercice 97 (CC 1 Octobre 2012). — Pour tout entier n non nul, on considère Mn la matrice de Mn (R)
dont les coefficients mi,j sont
mi,j = 0 si j < i − 1 ou si j > i + 1
mi,j = 1 si j = i − 1
mi,j = 3 si j = i
mi,j = 2 si j = i + 1
Ainsi

3
 1



Mn = 



2
3 2
1 3

2
..
.
1




.


3 2 
1 3
On note dn = det(Mn ).
(a) Calculer d1 , d2 , d3 , d4 .
(b) Montrer que
∀n ≥ 3
dn = 3dn−1 − 2dn−2 .
∗
(c) Montrer que ∀n ∈ N dn = 2n+1 − 1.
Indication : on pourra raisonner par récurrence
§ K. Systèmes linéaires
Exercice 98. — Résoudre, quand c’est possible, les systèmes




2x + 5y + 4z = −22
2x + 6y + 7z
(a) 3x + y
(b) 2x + 3z
= −2




3x − z
=3
−2x + 9y + 3z


−2x − z
(d) y + 3z


−3x − y − 5z
= −5
= 11
= −20


x + y
(e) 3x + 3y + z


5x + 4y + 5z
linéaires suivants :
=3
=5
=8
= −4
= −12
= −19
(
5x + 7y − 3z + t = 2
(c)
2x + 3y + z − 2t = 2


−x + 2y + z
(f ) −x − 3y


−3x + 2z
=1
=4
=7
15
Exercice 99 (Examen Septembre 2007). — Soit m un
système suivant :


x − y + z
3x + my + 2z


mx + 3y + z
paramètre réel. Discuter et résoudre dans R3 le
=1
=3
=2
Exercice 100. — Résoudre le système suivant en fonction des valeurs du paramètre m ∈ R :

2

=m
x − my + m z
2
mx − m y + mz = 1


mx + y − m3 z
= −1
Exercice 101. — Résoudre le système suivant en fonction des paramètres a, b, c, d ∈ R :

x+y =a



y + z = b

z+t =c



t+x =d
Exercice 102. — Le système suivant admet-il des solutions sur R :

2x + y + z = 3



x − y + 3z = 8

x + 2y − z = −3



x + y + 2z = −1
Exercice 103. — Résoudre le système suivant en fonction des valeurs du paramètre α ∈ C :

2

x + αy + α z = 0
ᾱx + y + αz = 0

 2
ᾱ x + ᾱy + z = 0
Exercice 104. — Résoudre le système suivant en fonction des valeurs des paramètres réels m, a, b, c.


=a
x − y + 2z
mx + (1 − m)y + 2(m − 1)z = b


2x + my − (3m + 1)z
=c
Exercice 105 (CC 1 Octobre 2010). — Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre dans R3 le système
suivant :


x + y + mz = m
x + my − z = 1


x+y−z
=1
Exercice 106 (CC 3 Décembre 2010). — Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre dans R3 le système
suivant :


=1
2x + y − z
x + my + z
=0


3x + y − mz = 1
Exercice 107 (CC 1 Octobre 2011). — Soit λ un paramètre réel. Résoudre dans R3 le système suivant :


=4
 x + 3y + 2z
(4)
(λ − 5)x + 3y + 7z = 7


2x + λy + 4z
=8
16
Exercice 108 (CC 1 Octobre 2012). — Résoudre le système suivant dans R3 en fonction du paramètre réel
m:

2

=3
x + my + m z
2
mx + m y + mz = −3


x + mz
=2
Exercice 109 (CC 1 Octobre 2013). — Résoudre le système suivant dans R3 en fonction du paramètre réel
a:


=1
x + ay + z
ax + y + (a − 1)z = a


x+y+z
=a+1
Exercice 110 (CC 3 Décembre 2013). — Soit m un paramètre réel. Déterminer, en fonction de la valeur
de m, les solutions dans R3 du système suivant :


=1
x + 2y − 9z
−y + mz
= −2


−x + my + z = 7
Exercice 111 (CC 1 Mars 2014). — Résoudre le système suivant dans R3 en fonction du paramètre réel m :


=1
x + y − z
(m − 1)x + m(m − 1)y + 2z = 1


x + my + 2z
=1
§ L. Pivot de Gauss
Exercice 112. — Les matrices suivantes sont-elles bien échelonnées ?






1 0 0 0
1 4 0
1 1
0
A =  0 1 , B =  0 1 8 , C =  0 0 1 3 , D =
1
0 0 0 0
0 0 −1
0 1

1
F = 1
0

2 −1
0 0 ,
0 0

0
G= 0
0
0
0
0

1
0 ,
0
H=
1
0
2
4
3
5
0
0
0
1
,
E=
2
0
0
1
,
I = In
Exercice 113. — Soit

1
 2
A=
 −1
2
(a) Calculer le produit

1
 0
(a) M = 
 0
0
2
5
−3
4
−2
−4
2
−3

3
6 

−2 
6
M A pour chacune des matrices M suivantes :




0 0 0
0 0 1 0
1
 0 1 0 0 
 0
1 0 3 
 , (b) M = 


 1 0 0 0  , (c) M =  0
0 1 0 
0 0 1
0 0 0 1
0
0
3
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
1
(b) Montrer que chaque matrice M A peut aussi être obtenue par une opération élémentaire sur les lignes
de A. Déterminer laquelle.
(c) On suppose maintenant que A ∈ M4 (K) est quelconque. Etablir que chaque matrice M A peut être
obtenue par une opération élémentaire sur les lignes de A et déterminer laquelle.
17
Exercice 114. — 1. Écrire les matrices associées aux systèmes suivant


4x + y
(a) 3x + y


y

x + 4y



−y + 7z
(c)

3x + 2y + t



5x + 6y + 8t


=0
−z + 2t
(b) 3y + 7z + 5t = 0


y+z−t
=0
=0
=0
=0
=9
= 19
= 11
= 49


x + y + 3z + 7t + 6r = 0
(d) 2x + 5y + 12z + 11t + 18r = 1


3x + 6y + 15z + 18t + 25r = 0
2. Mettre sous forme bien échelonnées les matrices précédentes.
3. Résoudre les systèmes. (Nb : Résoudre le système (b) pour (x, y, z, t) ∈ R4 )
§ M. Inversion de Matrices
Exercice 115. — Montrer que les matrices suivantes sont inversibles
méthode des opérations élémentaires sur les lignes :





1 0 0 3
0 1 0
0
 0 1 8 0 
, C =  5
A =  1 0 0 , B = 
 0 0 −1 2 
0 0 1
0
0 0 0 1
Exercice 116. — Montrer que les matrices

7
A= 5
−3
et calculer leurs inverses en utilisant la
2
0
0

−3
−1  ,
−7
D=
1
−1
3
4
suivantes ne sont pas inversibles :



3 2
1 2 3
1 −2  , B =  4 5 6 
1 6
7 8 9
Exercice 117 (Examen Novembre 2004). — Une matrice carrée est dite idempotente si A2 = A.
(a) Donner 3 exemples de matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels ou complexes.
(b) Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n telles que AB = A et BA = B. Montrer que A et B sont
idempotentes.
(c) On pose

2
A =  −1
1
−3
4
−3

−5
5 
−4

−1
et B =  1
−1
3
−3
3

5
−5 
5
(c1) Montrer que A et B sont idempotentes, mais que AB 6= A.
(c2) Montrer que les matrices A et B ne sont pas inversibles.
Exercice 118. — Soit A ∈ Mn (K), on suppose qu’il existe un entier p ∈ N∗ tel que Ap = 0 (une telle matrice
est dite nilpotente). Montrer que la matrice In − A est inversible.
§ N. Déterminants
Exercice 119. — Calculer les déterminants suivants :
1
∆1 = 2
3 −1 1 2
∆2 = 0 1
0 4
−2
3
1
2
∆3 = 1
2
−3
0
1
1
−1
−1
18
Exercice 120. — 1. Démontrer que les déterminants suivants sont nuls :
4
D = −7
3
1
−3
2
−3
9
−6
a
∆(a, b) = 0
b
2a
0
2b
2a
3b
0
(où
a, b ∈ C)
2. Calculer
2
4
−1
7 8
3 2
1 2
2
+ −1
4
7 8 1 2 3 2 Exercice 121. — Soient a, b, c ∈ R. On considère la matrice


1 1 1
A= a b c 
a2 b2 c2
1. Montrer que det(A) = (b − a)(c − a)(c − b).
2. Pour tout n ∈ N, on pose Sn = an + bn + cn . Montrer que
3 S1 S2 S1 S2 S3 = (b − a)2 (c − a)2 (c − b)2
S2 S3 S4 On pourra calculer les coefficients de la matrice At A
Exercice 122. — Soient a, b, c ∈ R. Calculer le
1
1
1
déterminant
cos(a)
cos(b)
cos(c)
cos(2a)
cos(2b)
cos(2c)
Exercice 123. — Pour quelle valeur de a ∈ R le système suivant


x + 2y + z
2x + (a + 3)y + 3z


x + (3 − a)y + (a − 2)z
admet-il une solution unique ?
=1
=2
=3
Déterminer dans ce cas cette solution à l’aide des formules de Cramer.
Exercice 124 (CC1 Octobre 2010). — On considère la

3 9
A = 2 0
3 3
matrice

−9
0
−3
(a) Calculer A2 , A3 , A4 , que remarque t’on ?
(b) Calculer (I3 − A)(I3 + A + A2 ). On rappelle que I3 est la matrice identité de M3 (R)
(c) Montrer que I3 − A est inversible.
(d) Calculer son inverse.
(e) On fixe λ ∈ R. Calculer det(A − λI3 ). Pour quelles valeurs de λ, la matrice (A − λI3 ) est-elle inversible ?
(f) (Question subsidiaire) : On suppose que la matrice (A − λI3 ) est inversible. Calculer son inverse.
19
Exercice 125 (CC3 Décembre 2010). — Soient P, Q ∈ M3 (R) telles que


1 1 1
1
P = 1 1 1 Q = (I3 + P )
4
1 1 1
(a) Calculer P 2 , P Q, QP en fonction de P .
(b) Calculer (4I3 − P )Q et Q(4I3 − P ). Que peut-on conclure concernant Q ?
(c) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe des réels (an ) et (bn ) tels que : Qn = an I3 + bn P . Les
suites (an ) et (bn ) vérifiant :
an+1 = 14 an
bn+1 = 14 an + bn
avec a0 = 1 et b0 = 0. On pensera à un raisonnement par récurrence.
(d) En déduire une expression de an en fonction de n.
(e) Montrer que ∀n ∈ N∗ :
n−1
X
(bk+1 − bk ) = bn
k=0
(f) En déduire que ∀n ∈ N : bn =
1
3
1−
1
4n
(g) Donner alors l’expression de Qn en fonction de n et sous forme matricielle.
Exercice 126 (CC 1 Octobre 2011). — On considère la

13 −8
A =  12 −7
6 −4
matrice

−12
−12 
−5
1) Calculer det A.
2) Calculer A2 .
3) En déduire A−1 .
Exercice 127 (CC 1 Octobre 2013). — Soit A une matrice de Mn (R). On note I la matrice identité de
Mn (R). On suppose que (I + A) est inversible et on pose B = (I − A)(I + A)−1 .
(a) Montrer que (I + A)(I − A) = (I − A)(I + A).
(b) En déduire que B = (I + A)−1 (I − A).
(c) Calculer (I + B)(I + A). En déduire que (I + B) est inversible et exprimer A en fonction de B.
Exercice 128 (CC 1 Mars 2014). — Soit A une matrice de Mn (R) vérifiant A2 = 0.
(a) Montrer que A n’est pas inversible.
(b) On note I la matrice identité de Mn (R). Montrer que I + A est inversible et calculer son inverse
Exercice 129 (CC3 Juin 2014). — Pour tout entier n non nul, on considère Mn la matrice de Mn (C) dont
les coefficients mi,j sont
mi,j = 0 si j < i − 1 ou si j > i (sauf m1,n )
mi,j = 1 si j = i − 1
mi,j = −X si j = i
m1,n = 1
20
Ainsi

−X
 1



Mn = 



1
−X
1
−X
..
.




.



..
.
1
−X
1

−X
On note Dn = det(Mn ).
(a) Calculer D1 , D2 , D3 , D4 .
(b) Montrer que
∀n ∈ N
Dn = (−1)n (X n − 1).
(c) En déduire toutes les valeurs z ∈ C telles que Mn (z) n’est pas inversible.
Exercice 130 (CC 1 Octobre 2014). — On considère les matrices





1 0 0
1 1 1
1
A = 0 1 1 ,
B = 0 1 0 ,
et
C = 1
3 1 1
1 0 0
0
1
2
−1

1
1 .
−1
(a) Calculer les produits AB et AC. Que constate-t-on ?
(b) La matrice peut-elle être inversible ? Justifier.
(c) Trouver toutes les matrices F ∈ M3 (R) telles que
n où 0n désigne la matrice nulle. (Indication :
 AF = 0
a b c
considérer une matrice quelconque de la forme d e f  et résoudre un système linéaire.)
g h i
Exercice 131 (CC 1 Octobre 2014). — Soit m un paramètre réel.
(a) Discuter et résoudre en fonction du paramètre m les solutions dans R3 du système


x + my + z = 1
(S) mx + y + (m − 1)z = m .


x+y+z =m+1
(b) En calculant un déterminant, retrouver le fait que si m 6= 1, alors ce système admet une unique solution.
Exercice 132 (CC 1 Octobre 2014). — On considère les matrices dans



3 0 −1
1 0
A= 2 4 2 
et
P = −2 1
−1 0 3
1 0
M3 (R) définies par

1
0 .
−1
(a) Montrer que la matrice P est inversible et déterminer son inverse.
(b) Calculer la matrice définie par D := P −1 AP . Que peut-on dire de D ?
(c) Calculer Dn pour tout entier n ∈ N.
(d) En déduire An pour n ∈ N.