PRODUIT SCALAIRE – PRODUIT VECTORIEL I. PRODUIT SCALAIRE I.1Calcul du produit scalaire G G G Soit i , j , k une base orthonormée directe. ( ) x x G 2 G 1 Il y a deux méthodes pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs : V1 y1 et V2 y2 . • z1 G G G G G G Méthode 1 : définition du produit scalaire : V1 ⋅ V2 = V1 × V2 × cos V1 ,V2 ( z2 ) G G • Méthode 2 : utilisation des coordonnées dans une base orthonormée directe : V1 ⋅ V2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Il faut bien réfléchir pour savoir quelle méthode donnera les calculs les plus simples. I.2 Première propriétés G G G G a) V1 ⋅ V2 = V2 ⋅ V1 le produit scalaire est commutatif. b) • • G G G G Si V1 et V2 sont orthogonaux, alors V1 ⋅ V2 = 0 . Attention, la réciproque est fausse. G G G G G G G G G G G G Si V1 ⋅ V2 = 0 ⇔ V1 × V2 × cos V1 , V2 = 0 ⇔ V1 = 0 ou V2 = 0 ou V1 et V2 sont orthogonaux ( ) II. PRODUIT VECTORIEL II.1 Définition – Interprétation géométrique de la norme G G G G G Le produit vectoriel de V1 et V2 , noté V1 ^ V2 est le vecteur V tel que : G G G G G • V = V1 × V2 × sin α avec α = V1 , V2 G G G G G G • Quand V1 et V2 sont non nuls, on a V ⊥ V1 et V ⊥ V2 G G G • Le trièdre V1 , V2 ,V est direct. On peut appliquer la règle de la main droite : les 4 doigts de la main sont G G dans la direction de V1 , la paume de la main est dans la direction de V2 . Le pouce donne alors la direction de G V. ( ( G V2 ) ) G V C α G V1 JJJG G AC = V2 G V2 G V1 A D α H JJJG G B AB = V1 On a souvent besoin d’interpréter graphiquement la norme du produit vectoriel. Soit ABCD le parallélogramme G G construit à partir des vecteurs V1 et V2 . L’aire du parallélogramme ABCD vaut : base × hauteur = AB × CH = AB × AC × sin α = V1 × V2 × sin α . G G L’aire du parallélogramme ABCD vaut : V1 ^ V2 Q Produit scalaire – Produit vectoriel (33-101) Page 1 sur 2 JN Beury II.2 Premières propriétés G G G G a) V1 ^ V2 = −V2 ^ V1 le produit vectoriel n’est pas commutatif. b) G G G G G Si V1 et V2 sont colinéaires, alors V1 ^ V2 = 0 . Attention, la réciproque est fausse. G G G G G G G G G G G G G Si V1 ^ V2 = 0 ⇔ V1 × V2 × sin V1 , V2 = 0 ⇔ V1 = 0 ou V2 = 0 ou V1 et V2 sont colinéaires • ( • ) II.3 Linéarité G G G G V1 ^ λV2 = λ V1 ^ V2 avec λ ∈ \ G G G G G G G u ^ V1 + V2 = u ^ V1 + u ^ V2 ( ) ( ( ) ) II.4 Coordonnées dans une base orthonormée directe G G G Soit i , j , k une base orthonormée directe. G G G G i ^ j =k k G G G j ^k =i G G G G j G k ^i = j i Moyen mnémotechnique pour retrouver sans schéma ces relations : G G G G G G G G G G écrire i , j , k , i , j , k . Pour calculer k ^ i par exemple, i est à droite de k dans cette liste, on aura un signe + G G G G Si on veut calculer j ^ i , on aura un signe – car i est à gauche de j . ( ) G G G G G G G G V1 = x1i + y1 j + z1 k et V2 = x2 i + y2 j + z2 k G G G G G G G G G G G G G G V1 ^ V2 = x1i + y1 j + z1 k ^ x2 i + y2 j + z2 k = x1 y2 k − x1 z2 j − y1 x2 k + y1 z2 i + z1 x2 j − z1 y2 i ( ) ( ) y1 z2 − z1 y2 G G On obtient : V1 ^ V2 = z1 x2 − x1 z2 . On retient ce résultat avec les déterminants : x1 y2 − y1 x2 + det y1 y2 z1 z2 x1 x2 G G x V1 ^ V2 = y1 ^ y2 = − det 1 z1 z1 z2 x + det 1 y1 x2 z2 . x2 y2 Le premier déterminant s’obtient en « rayant » la première ligne (x1 et x2). Le deuxième déterminant s’obtient en « rayant » la deuxième ligne (y1 et y2). Le troisième déterminant s’obtient en « rayant » la troisième ligne (z1 et z2). Retenir que l’on a des signes ALTERNÉS : +, – et +. II.5 Double produit vectoriel G G G G G G G G G u ^ ( v ^ w) = (u ⋅ w) v − (u ⋅ v ) w G G G G G G G G G (u ^ v ) ^ w = (u ⋅ w) v − ( v ⋅ w) u Moyen mnémotechnique : « commencer par vecteur milieu et mettre un signe – devant l’autre vecteur de la parenthèse du double produit vectoriel. Il reste à rajouter les produits scalaires des deux autres vecteurs ». II.6 Bilan Il y a deux méthodes pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs. • Méthode 1 : définition du produit vectoriel. • Méthode 2 : utilisation des coordonnées dans une base orthonormée directe. Il faut bien réfléchir pour savoir quelle méthode donnera les calculs les plus simples. Q Produit scalaire – Produit vectoriel (33-101) Page 2 sur 2 JN Beury