test2 g12 14 correction

Matière : Algébre2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Correction du Test N 2
Groupes12; 13; 14
(27 Avril 2016)
1. Soit B = (e1 ; e2 ; e3 ) la base canonique de R3 . Soit f une application
linéaire de R3 dans R3 dé…nie par :
f (e1 ) = 3e1 + 2e2 4e3
f (e2 ) = e1 e2 + 2e3
f (e3 ) = 4e1 2e2 + 5e3
Déterminer la matrice de f dans la base canonique.
Solution 1 La matrice associée à f dans la base B s’ecrit :
f (e1 ) f (e2 ) f (e3 )
4
1
3
MB (f ) =
2
1
2
)
(
5
2
4
e1
e2
e3
:
2. Soient F et G deux sous espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. Dire
si F \G et F [G sont des sous espaces vectoriels de E. Expliquer pourquoi
dans chaque cas.
Solution 2 (a) F \ G est un sous espace vectoriel de E. En e¤ et,
i. Condition d0 admissibilité : 0E 2 F et 0E 2 G donc 0E 2 F \ G:
ii. Stabilité pour la somme. Soient u; v 2 F \ G; alors
8
8
< u+v 2F
< u; v 2 F
et
et
car F et G sont des s:e:v: de E:
)
:
:
u+v 2G
u; v 2 G
) u + v 2 F \ G:
iii. Stabilité pour la multiplication par un scalaire. Soient u 2 F \
G et 2 K alors
8
8
< u2F
< u2F
et
et
)
car F et G sont des s:e:v: de E:
:
:
u2G
u2G
)
u 2 F \ G:
(b) En général, F [ G n’est pas un sous espace vectoriel de E. Plus
précisement, F [ G est un sous espace vectoriel de E si, et seulement
si F G ou G F .
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