CAPES. Espaces de Hilbert

CAPES.
2005/2006
Feuille 7
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Espaces de Hilbert
Ex 1. Soit K une partie convexe fermée non vide d’un espace de Hilbert réel (H, (·, ·)). On note | · |
la norme associée.
(1) Etablir la formule de la médiane :
1
u+v
− f |2 + |v − u|2 ∀u, v, f ∈ H.
|u − f |2 + |v − f |2 = 2|
2
2
(2) Montrer que pour tout f ∈ H, il existe un unique u ∈ K tel que
| f − u| = inf | f − v|.
v∈K
Indication : En utilisant la formule de la médiane, montrer que toute suite (un ) de K vérifiant
| f − un | → d = inf | f − v| est de Cauchy. On note PK l’application de H dans H qui à f
v∈K
associe PK f = u. L’application PK s’appelle la projection sur K.
(3) Soit f , u ∈ H. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
(i) u = PK f .
(ii) u ∈ K et ( f − u, v − u) ≤ 0 ∀v ∈ K.
Indication : Pour (i) ⇒ (ii), considérer w = (1 − t)u + tv où t ∈]0, 1].
(4) On suppose que K = E où E est un sous espace vectoriel fermé de H.
(a) Soit f , u ∈ H. Montrer que u = PE f si et seulement si u ∈ E et ( f − u, v − u) = 0 ∀v ∈ E.
(b) Montrer que PE est une application linéaire et continue de H dans lui même. Calculer
sa norme. Déterminer l’image de PE .
(c) Soit E ⊥ = { f ∈ H | ( f , v) = 0 ∀v ∈ E}. Montrer que kerPE = E ⊥ et que E ⊥ est un sous
espace vectoriel fermé de H.
(d) Déterminer PE ◦ PE . Montrer que I − PE = PE ⊥ (I désigne l’identité de H) et
|| f ||2 = ||PE f ||2 + ||PE ⊥ f ||2
∀ f ∈ H.
Ex 2. (D’après CAPES externe) Soit C([−1, 1]) l’espace préhilbertien réel des applications de [−1, 1]
vers R continues sur [−1, 1], muni du produit scalaire
Z 1
( f , g) =
f (t)g(t)dt.
−1
On note || · ||2 la norme associée.
(1) Pour n ∈ N∗ , on considère la fonction impaire fn de [−1, 1] vers R vérifiant, pour t ∈ [0, 1],
(
nt si t ≤ 1/n
fn (t) =
1 sinon.
(a) Montrer que fn ∈ C([−1, 1]).
(b) Montrer que pour tout 1 ≤ n ≤ m, || fn − fm ||2 ≤
(c) C([−1, 1]) est-il un espace de Hilbert ?
1
q
2
3n .
(2) Soit Fn le sous espace vectoriel de C([−1, 1]) constitué des fonctions polynomiales de degré
inférieur ou égal à n. Soit πn le projecteur orthogonal de C([−1, 1]) sur Fn .
(a) A l’aide du théorème de Stone-Weierstrass, montrer que pour tout
f ∈ C([−1, 1]), (πn ( f ))n∈N converge vers f dans C([−1, 1]).
(b) Montrer qu’il existe (K j ) j∈N ⊂ C([−1, 1]) telle que pour tout f ∈ C([−1, 1]),
πn ( f ) =
n
∑ ( f , K j )K j ,
||πn ( f )||22 =
j=0
n
∑ ( f , K j )2 .
j=0
(c) Montrer que pour tout f ∈ C([−1, 1]), la série de terme général ( f , Kn )2 converge et
R1
∑n≥0 ( f , Kn )2 = || f ||22 . Quelle est la limite lorsque n → ∞ de −1 f (t)Kn (t)dt ?
(3) Soit n ∈ N et x0 < x1 < · · · < xn n + 1 éléments de [−1, 1]. Soit
t − xi
.
` j (t) = ∏
0≤i≤n, x j − xi
i6= j
Montrer que l’application
n
hP, Qi 7→ ∑ P(xi )Q(xi )
i=0
est un produit scalaire sur Fn et que, pour ce produit scalaire, (` j )0≤ j≤n est une base orthonormale de Fn .
(4) Quelles sont, dans cette base, les coordonnées d’un polynôme P de Fn ?
(5) Soit f ∈ C([−1, 1]). Montrer qu’il existe un unique polynôme P ∈ Fn tel que P(xi ) = f (xi )
∀0 ≤ i ≤ n. On définit ainsi une application Λ de C([−1, 1]) dans Fn .
(6) Montrer que Λ est linéaire et surjective. Montrer que pour tout f ∈ C([−1, 1]) et pour tout
t ∈ [−1, 1],
n
|Λ( f )(t)| ≤ max | f (x j )| ∑ |` j (t)|.
0≤ j≤n
j=0
(7) On définit l’application χ de [−1, 1] vers R par χ(t) = ∑nj=0 |` j (t)|. Si on munit C([−1, 1])
et Fn de la norme infinie, montrer que
|||Λ||| :=
||Λ( f )||∞ = ||χ||∞ .
sup
|| f ||∞ =1,
f ∈C([−1,1])
Ex 3. Soit H = R2 muni du produit scalaire euclidien. Soit a, b, c ∈ R et
f : R2 −→ R2
(x1 , x2 ) 7−→ (ax1 + bx2 , bx1 + cx2 ).
(1) Montrer que f est une application linéaire et continue de H dans lui même.
(2) Calculer sa norme en fonction de ses valeurs propres.
(3) Déterminer l’image du cercle unité par f .
http ://www-math.univ-poitiers.fr/˜rougirel/capes/frame2.html
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