resume espace 1

RESUME DE COURS PRODUITS SCALAIRE, VECTORIEL ET MIXTE
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de l’espace est le réel défini par :
.si u  0 ou v  0 alors u.v  0 .
.si u et v sont tous deux non nuls alors u.v  u x v x cos  où  est la mesure de l’angle géométrique entre
u et v .
.Le produit scalaire dans l’espace est commutatif et distributif par rapport à l’addition des vecteurs ; u.v  v.u et

u. v  w

 u.v  u.w .
. u.v  0 si et seulement si u et v sont orthogonaux.
a 
 a '
 
 
.Dans une base orthonormée,si u  b  et v  b ' alors u.v  aa ' bb ' cc '.
c 
 c '
 
 
Produits vectoriel et mixte
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v de l’espace est le vecteur défini par :
.si u et v sont colinéaires alors u  v  0 .
 u  v est orthogonal à u et à v


.sinon u  v est le vecteur tel que :  u, v,u  v
est une base directe de l'espace

u  v  u x v x sin 


 étant la mesure de l’angle géométrique entre u et v .
.Pour tous vecteurs u , v et w de l’espace on a :
.u  u  0 .
. u  v  0 si et seulement si u et v sont colinéaires.


. u  v  w 


.u  v   v  u .
 u v u w
v
et

 w  u  v  u  w  u.
a 
 a '
a " 
 
 


.Dans une base orthonormée directe,si u  b  , v  b ' et w  b " alors on a :
c 
c '
c " 
 
 


bc
'

cb
'




u  v ca ' ac ' et dét u, v,w  a  b 'c " c ' b "  b a 'c " c ' a "  c a ' b " b ' a "
 ab ' ba '




.On a dét u, v, w




 u  v .w noté également u, v,w  et appelé produit mixte des trois vecteurs
u , v et w .

.Trois vecteurs u , v et w sont coplanaires si et seulement si dét u, v, w

 0
Distance d’un point à une droite
 
D = D A,u et M sont respectivement une droite et un point de l’espace ; on a : d  M, D  
AM  u
.
u
Aires et volumes
.L’aire d’un parallélogramme ABCD est AB  AD .
.L’aire d’un triangle ABC est
1
AB  AC .
2
.Le volume d’un tétraèdre ABCD est V =
1
6


AB, AD, AA '
 dét AB, AD, AA ' .


1
AB, AC, AD 
 (aire de la base) x hauteur .


3
.Le volume d’un parallélépipède ABCDA’B’C’D’ est
V 