Algèbre linéaire II Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Rafael Guglielmetti, Muriel Galley http ://homeweb1.unifr.ch/guglielr/pub/teaching.html Série 21 À rendre avant le mercredi 1 mai, 12h00 Un test facultatif aura lieu le 24 mai. Exercice 1 (Une base de Jordan, 4 points) Soit V n et soit T : V −→ V un endomorphisme ayant pour pT (t) = (λ − t)n . Supposons de plus que dim Eig(T ; λ) = 1. On un espace vectoriel de dimension polynôme caractéristique considère les vecteurs suivants : vn tel que (T − λ id)n−1 (vn ) 6= 0 ; i vn−i := (T − λ id) (vn ) pour tout 1 ≤ i ≤ n − 1. Montrez que {v1 , . . . , vn } est une base de Jordan de T . Exercice 2 (Jordanisation de matrices, 4 points) 1. Considérez la matrice suivante 5 4 2 1 0 1 −1 −1 . A= −1 −1 3 0 1 1 −1 2 Trouver une réduite de Jordan de A. Remarque. Vous pouvez déterminez la réduite de Jordan uniquement à partir des polynômes pA et MA . 2. Considérez la matrice suivante 2 −2 2 A = 2 2 2 . 1 1 2 a) Trouvez des matrices S et J telles que A = S −1 ·J ·S , où J est une matrice constituée de blocs de Jordan. b) Calculez An pour tout n ∈ N. Exercice 3 V un espace vectoriel réel et h , i : V × V → R un produit scalaire p k · k : V → R, v 7→ hv, vi, et métrique d : V × V → R, d(v, ṽ) := kṽ − vk. Soit sur V avec norme Montrez les points suivants : 1. hv, wi = 12 (kv + wk2 − kvk2 − kwk2 ) pour tous v, w ∈ V . Remarque : On appelle parfois cette égalité l'égalité de Pythagore. Voyez-vous pourquoi ? 2. kv + wk2 + kv − wk2 = 2kvk2 + 2kwk2 pour tous v, w ∈ V . 3. d(v, z) ≤ d(v, w) + d(w, z) 4. d(v, z) ≥ |d(v, w) − d(w, z)| pour tous v, w, z ∈ V . pour tous v, w, z ∈ V . Exercice 4 (Produits scalaires, 4 points) Lesquelles des opérations dénies ci-dessous sont des produits scalaires dans 1. hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + 2x3 y3 2. hx, yi = x1 y1 + x2 y2 − 3x2 y3 + x3 y2 + x3 y3 3. hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + x23 y2 Soit R3 ? n un entier ainsi que a1 , . . . , an ∈ R des nombres réels. Sous quelles conditions l'application : h−, −i : Rn × Rn −→ R n X (x, y) 7−→ ai xi yi i=1 est-elle un produit scalaire ? Exercice 5 (Un produit scalaire diérent, 2 points) V = C 0 ([a, b], R) l'espace vectoriel (de dimension dans R. Soit α > 0 nombre réel. Montrer que Soit innie) des fonctions continues de [a, b] Φ : V × V −→ R Z (f, g) 7−→ α · b f (x)g(x)dx a est un produit scalaire. Exercice 6 (Vrai ou faux, 0 points) angularisable pour tout 2. Soit V 1. Soit A une matrice triangularisable. Alors An n ≥ 1. un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire h−, −i. Soit T : V −→ V application linéaire inversible. Alors l'application V × V −→ R, (v, w) 7−→ hT v, T wi est un produit scalaire. 3. Soit V comme dans l'exercice 4. Alors, pour toutes fonctions f, g ∈ V on a Z b Z b 1/2 Z b 1/2 2 2 f (x)g(x)dx ≤ f (x) dx · g(x) dx a est tri- a a une