Théorème de Stampacchia

Théorème de Stampacchia
Florent Nacry
24 janvier 2015
Référence : Analyse fonctionelle, Brézis.
Notation : Si (X, k·k) est un R - espace vectoriel normé, on note X ? son dual topologique.
Débutons par un rappel sur la notion de coercivité pour une forme bilinéaire.
Définition. Soient (X, k·k) un R-espace vectoriel normé, b : X × X −→ R une forme bilinéaire.
On dit que b est k·k-coercive (ou coercive) lorsqu’il existe un réel α > 0 tel que pour tout x ∈ X,
b(x, x) ≥ α kxk .
On aura besoin du célèbre théorème suivant :
Théorème. (de point fixe de Banach-Picard) Soient (E, d) un espace métrique complet,
f : E −→ E une application contractante. Alors, f a un unique un point fixe a ∈ E. De plus, toute
suite (xn )n∈N d’éléments de E satisfaisant pour tout n ∈ N, xn+1 = f (xn ), converge dans E vers
a.
Le résultat suivant est le théorème de projection sur un convexe non vide fermé d’un espace de
Hilbert.
Théorème. Soient (H, h·, ·i) un R-espace de Hilbert, k·k =
de H, u ∈ H. Alors, il existe un unique PK (u) ∈ K tel que
q
h·, ·i, K un convexe fermé non vide
inf ku − vk = ku − PK (u)k .
v∈K
De plus, pour tout v ∈ H, v = PK (u) si et seulement si v ∈ K et pour tout w ∈ K,
hu − v, w − ui ≤ 0.
Rappelons le résultat qui permet d’identifier le dual topologique d’un espace de Hilbert à luimême.
Théorème.
(de représentation de Riesz-Fréchet) Soient (H, h·, ·i) un R-espace de Hilbert,
q
k·k = h·, ·i, k·kL la norme subordonnée aux normes k·k et |·|, ϕ ∈ H? . Alors, il existe un unique
x ∈ H tel que
ϕ(·) = h·, xi .
De plus, on a l’égalité kϕkL = kxk.
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L’application projection sur un convexe non vide fermé d’un espace de Hilbert est 1-lipschitzienne.
q
Proposition. Soient (H, h·, ·i) un R - espace de Hilbert, k·k = h·, ·i, K un convexe fermé non
vide de H. Alors, l’application PK : H −→ H est 1-lipschitzienne, i.e. pour tout u1 , u2 ∈ H,
kPK (u1 ) − PK (u2 )k ≤ ku1 − u2 k .
On en arrive au résultat fondamental de ce document.
q
Théorème. (de Stampacchia) Soient (H, h·, ·i) un R-espace de Hilbert, k·k = h·, ·i, a : H ×
H −→ R une forme bilinéaire continue sur H × H, coercive, K un convexe fermé non vide de H.
Pour tout ϕ ∈ H? , il existe un unique u ∈ K tel que pour tout v ∈ K,
a(u, v − u) ≥ ϕ(v − u).
Démonstration. Fixons ϕ ∈ H? . Via le théorème de Riesz, il existe un unique f ∈ H tel que
ϕ(·) = h·, f i .
Fixons u0 ∈ H. L’application a(u0 , ·) : H −→ R est une forme R-linéaire de H, continue sur H
(puisque a est continue sur H × H). Via le théorème de Riesz, il existe un unique élément A(u0 )
de H tel que
a(u0 , ·) = hA(u0 ), ·i .
On peut ainsi définir une application R-linéaire A de H dans lui-même. La coercivité de a nous
fournit l’existence d’un réel α > 0 tel que pour tout u ∈ H,
hA(u), ui ≥ α kuk2 .
Puisque a est une forme R-bilinéaire de H × H, continue sur H × H, il existe un réel C > α tel
que pour tout u, v ∈ H,
|a(u, v)| ≤ C kuk kvk .
Notons k·kL la norme subordonnée à k·k et à |·|. Pour tout u ∈ H, on a
kA(u)k = ka(u, ·)kL
= sup |a(u, v)|
v∈B[0,1]
≤ C kuk .
Fixons un réel ρ ∈]0, C2α2 [. Notons que le choix de ρ entraîne ρ2 C 2 − 2ρα + 1 < 1. De plus, pour
tout x ∈ R, on a C 2 x2 − 2αx + 1 > 0. Ainsi, on dispose de l’encadrement
C 2 ρ2 − 2αρ + 1 ∈ ]0, 1[ .
Constatons que
∃u ∈ K, ∀v ∈ K, a(u, v − u) ≥ ϕ(v − u) ⇐⇒ ∃u ∈ K, ∀v ∈ K, hu − ρ(A(u) − f ) − u, v − ui ≤ 0
⇐⇒ ∃u ∈ K, u = PK (ρf − ρA(u) + u).
(1)
2
Cherchons alors les points fixes de l’application
s : K −→K
w 7−→PK (ρf − ρA(w) + w).
Pour tout w1 , w2 ∈ K, on a
kS(w1 ) − S(w2 )k ≤ kw1 − w2 − ρ(A(w1 ) − A(w2 )k .
Pour tout w1 , w2 ∈ K, on a
kS(w1 ) − S(w2 )k2 = kw1 − w2 k2 + ρ2 kA(w1 ) − A(w2 )k2 − 2ρ hw1 − w2 , A(w1 ) − A(w2 )i
≤ kw1 − w2 k2 (1 + ρ2 C 2 − 2ρα).
Ainsi, S est une application contractante de K dans lui-même. L’application S a donc un unique
point fixe u ∈ K. Via (1), u est l’unique élément de K tel que
a(u, v − u) ≥ ϕ(v − u) pour tout v ∈ K.
Ceci termine la preuve.
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