Théorème de Carathéodory

Théorème de Carathéodory - Théorème de Mazur
Florent Nacry
24 janvier 2015
Références : Oraux X-E.N.S. Algèbre 3, Francinou, Cours d’analyse fonctionnelle de Lionel
Thibault (Université Montpellier 2).
Notation : Si X est une partie d’un R-espace vectoriel, on note co (X) son enveloppe convexe.
Théorème. (Carathéodory) Soient n ∈ N? , X une partie non vide de Rn . Alors, tout point de
co (X) est barycentre d’une famille de n + 1 points de X affectés de coefficents positifs.
Démonstration. Soit x ∈ co (X) fixé. Puisque co (X) est l’ensemble des combinaisons convexes
d’éléments de X, il existe p ∈ N? , x1 , . . . , xp ∈ X, λ1 , . . . , λp ∈ R?+ avec
x=
p
P
i=1
p
P
λi = 1 tels que
i=1
λi xi . Si p ≤ n + 1, c’est terminé. Supposons p > n + 1. On a p − 1 > n = dimR Rn . Ainsi,
la famille (xi − x1 )2≤i≤p de Rn est R-liée dans Rn , i.e. il existe (α2 , . . . , αp ) ∈ Rp+1 \ {0} tel que
p
X
αi (xi − x1 ) = 0.
(1)
i=2
Posons α1 = −
p
P
αi . On a
i=2
p
X
α i xi =
i=1
=
=
p
X
i=2
p
X
i=2
p
X
α i xi + α 1 x1
α i x1 + α 1 x1
α i x1 −
i=2
p
X
α i x1
i=2
=0
où la deuxième égalité résulte de (1). Remarquons que pour tout t ∈ R,
x=
p
X
λi xi + t
i=1
On a
p
P
i=1
p
X
αi xi =
i=1
p
X
(λi + tαi )xi .
(2)
i=1
αi = 0 et l’existence de i0 ∈ {2, . . . , p} tel que αi0 6= 0. Ceci entraîne tout de suite
l’existence d’un j0 ∈ {1, . . . , p} tel que αj0 < 0 ce qui permet de définir
)
(
λi
τ = min − : i ∈ {1, . . . , p} , αi < 0 .
αi
1
Posons pour tout i ∈ {1, . . . , p}, µi = λi + τ αi . Fixons k ∈ {1, . . . , p}. Soit αk ≥ 0 et dans ce cas
µk ≥ 0, soit αk < 0 et dans ce cas 0 ≤ τ ≤ − αλkk puis τ αk ≥ −λk , i.e. µk ≥ 0. On en déduit que
p
P
pour tout i ∈ {1, . . . , p}, µi ≥ 0. Puisque
αi = 0, on a
i=1
p
X
µi =
i=1
p
X
λi + τ
i=1
p
X
αi = 1.
i=1
Fixons j ∈ {1, . . . , p} tel que τ = − αλjj . Il vient
µj = λj + αj τ = λj − λj = 0.
Ainsi, on a
X
µ i xi =
1≤i≤p,i6=j
=
p
X
µ i xi
i=1
p
X
(λi + τ αi )xi
i=1
=x
où la dernière égalité est conséquence immédiate de (2). Il s’ensuit que x est barycentre d’une
famille de p − 1 points de X affectés de coefficients positifs. Pour conclure, il reste alors à appliquer
m − 1 fois ce même procédé où m est l’entier naturel non nul qui satisfait p − m = n + 1.
Application. Soient n ∈ N? , X une partie de Rn compacte. Alors, l’enveloppe convexe de X est
compacte.
Démonstration. Si X = ∅, c’est terminé. Si X 6= ∅, posons
Φ : Rn+1 × Rn+1 −→R
((x1 , . . . , xn+1 ), (λ1 , . . . , λn+1 )) 7−→
n+1
X
λi xi
i=1
Observons que Φ est continue
sur Rn+1 × Rn+1 (par R-bilinéarité
et R-dimension finie de Rn+1 ×
Rn+1 ). Notons ∆n+1 = (λ1 , . . . , λn+1 ) ∈ Rn+1 :
n+1
P
λi = 1 . L’application
i=1
ϕ : X × ∆n+1 −→co (X)
((x1 , . . . , xn+1 ), (λ1 , . . . , λn+1 )) 7−→
n+1
X
λi xi
i=1
est alors continue (restriction à la source et au but de Φ) sur X × ∆n+1 et ϕ(X × ∆n+1 ) = co (X).
La compacité évidente (c’est un fermé borné de Rn+1 !) de ∆n+1 associée à celle de X nous garantit
que X × ∆n+1 est compact. Ceci termine la preuve.
L’objet de la suite est d’établir que le résultat est faux en dimension infinie.
2
On note
lR2 (N)
=
(xn )n∈N ∈ R :
N
+∞
P
n=0
x2n
< +∞ . Rappelons c’est un R-espace vectoriel et que
l’application
h·, ·i : lR2 (N) × lR2 (N) −→R
((xn )n∈N , (yn )n∈N ) 7−→
+∞
X
xn y n
n=0
est un produit scalaire sur lR2 (N). Rappelons aussi que (lR2 (N), h·, ·i) est un R-espace de Hilbert
dont on note k·k2 la norme induite par h·, ·i. Pour tout m ∈ N? , posons
δm : N −→R
n 7−→

1
si n = m
,
0 sinon
Posons également
ζm : N −→R

 1
si n = m
sinon,
n 7−→  n+1
0
Pour tout n ∈ N? , on a
ζn
2
− 0lR2 (N) =
2
+∞
X
ζn (k)2 =
k=0
1
.
(n + 1)2
Ceci permet d’établir que lim ζn = 0lR2 (N) . Posons
n→+∞
n
A = {ζn : n ∈ N? } ∪ 0lR2 (N)
o
qui est (résultat classique de topologie !) compact et notons C = co (A). Montrons que A n’est pas
fermée dans lR2 (N). Pour tout m ∈ N? , on définit
m
6 X
ζk (·)
ϕm (·) = 2
π k=1 k 2
qui est évidemment un élément de lR2 (N). Remarquons que pour tout m ∈ N? ,
m
m
6 X
ζk (·)
6 X
1
ϕm (·) = 2
+ 1− 2
02 .
2
π k=1 k
π k=1 k 2 lR (N)
!
Ceci nous dit que pour tout m ∈ N? , on a ϕm (·) ∈ co (A). Posons l(·) =
6
π2
+∞
P
k=1
ζk (·)
k2
et observons
tout de suite que l(·) ∈ lR2 (N) et que l(·) ∈
/ co (A). Fixons n0 ∈ N? . On a pour tout k ∈ N,

6

X ζi (k)
6 +∞
π 2 k2 (k+1)2
l(k) − ϕn0 (k) = 2
=
0
π i=n0 +1 i2
si k > n0
si k ∈ {0, . . . , n0 } .
On en déduit que
kl −
ϕn0 k22
=
+∞
X
k=n0 +1
3
6
2
2
π k (k + 1)2
!2
.
On a donc (reste numérique d’une série convergente !)
lim kl − ϕn k22 = 0,
n→+∞
i.e. lim ϕn = l. Ainsi, co(A) n’est même pas fermée dans lR2 (N).
n→+∞
On a toutefois le résultat suivant :
Théorème. (Mazur) Soient (X, k·k) un K-espace de Banach, K un compact de (X, k·k). Alors,
l’enveloppe convexe fermée de K est un compact de (X, k·k).
Démonstration. Notons U = B(0X , 1) et fixons un réel ε > 0. Il existe m ∈ N? , a1 , . . . , am ∈ K
tels que
K⊂
=
m
[
ε
B(ak , )
2
k=1
m
[
ε
ak + U
2
k=1
ε
= {a1 , . . . , am } + U.
2
On en déduit
ε
ε
co(K) ⊂ co({a1 , . . . , am } + U) ⊂ co({a1 , . . . , am }) + U.
2
2
L’application
ϕ : Rm × X m −→ X
(λ1 , . . . , λm , x1 , . . . , xm ) 7−→
m
X
λk xk
k=1
est évidemment continue sur Rm × X m . On a
co({a1 , . . . , am }) = ϕ Λ × ({a1 } × . . . × {am }) ,
m
où Λ = (λ1 , . . . , λm ) ∈ R :
m
P
k=1
λk = 1 . Donc, co({a1 , . . . , am }) est k·k-compact. Il existe n ∈ N? ,
c1 , . . . , cn ∈ co({a1 , . . . , am }) tels que
ε
co({a1 , . . . , am }) ⊂ {c1 , . . . , cn } + U.
2
Donc, co(K) ⊂ {c1 , . . . , cn } + εU. Ainsi, co(K) est k·k-précompact. Puisque (X, k·k) est un Kespace de Banach, co(K) est k·k-compact. Ceci termine la preuve.
4