Espaces de Hilbert

Espaces de Hilbert
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Espaces de Hilbert
Soit V un ev sur R.
Dénition 1.1. Un produit scalaire sur V est une application bilinéaire sur
V , notée (., .)V : V × V → R, et vériant les trois propriétés suivantes :
(i) symétrie : ∀v, w ∈ V , (v, w)V = (w, v)V ,
(ii) positivité : ∀v ∈ V , (v, v)V ≥ 0,
(iii) (v, v)V = 0 ⇐⇒ v = 0.
Proposition p
1.2.
Soit (., .)V un produit scalaire sur V . L'application x ∈
V 7→ kxkV = (v, v)V est une norme (norme induite). Elle vérie l'inégalité
de Cauchy-Schwarz :
∀v, w ∈ V,
|(v, w)V | ≤ kvkV kwkV .
Remarque 1.3.
Cette inégalité montre que l'application bilinéaire v, w ∈
V → (v, w)V est continue, autrement dit que le produit scalaire est une application bilinéaire continue.
Dénition 1.4.
Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire (donc normé), et complet pour la norme induite.
Un espace de Hilbert est donc un cas particulier d'espace de Banach (la
norme est dénie à partir d'un produit scalaire).
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Exemple
Soit l2 = {ui ∈ R; i u2i < ∞}.
P
On considère l'application qui à u, v ∈ l2 associe < u, v >= i ui vi .
Ce nombre est bien déni (en eet, |ui vi | ≤ u2i /2 + vi2 /2 donc la série est
absolument convergente donc convergente).
L'application < ·, · > est donc bien dénie, symétrique, dénie
et positive :
pP
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c'est un produit scalaire sur l2 . La norme induite est kukl2 =
i ui .
l2 muni de cette norme est un espace complet, donc un espace de Hilbert.
P
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Théorème de projection orthogonale
Théorème 2.1.
Soit H un espace de Hilbert, et K un sous espace vectoriel
fermé non vide de H . Pour tout u ∈ H , il existe un unique u ∈ K , appelé
projection orthogonale de u sur K , et noté PK u, tel que
kPK u − ukH = inf kw − ukH
w∈K
(1)
De plus, PK u est caractérisé par
PK u ∈ K
et ∀w ∈ K, (PK u − u, w) = 0
(2)
Remarque 2.2. Si u ∈ K , PK u = u.
Théorème 2.3. PK est une application linéaire de H dans K et kPK kL(H,K) =
1 (si K 6= {0}).
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Théorème de Riesz
A tout u ∈ H , on peut associer l'application ϕ : w ∈ H 7→ (u, w) ∈ R,
qui est une application linéaire continue de H dans R, et donc un élément de
H 0 . Est-ce qu'on atteint ainsi tous les éléments de H 0 ? Le théorème de Riesz
dit que oui.
Théorème 3.1 (Riesz). Soit H un espace de Hilbert. Etant donné ϕ ∈ H 0 =
L(H, R), il existe u ∈ H unique tel que
∀w ∈ H,
ϕ(w) = (u, w)H .
De plus, on a kukH = kϕkH 0 . En d'autres termes, l'application de H 0 dans
H qui à ϕ associe u permet d'identier l'espace de Hilbert H avec son dual.
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Bases hilbertiennes
Dénition 4.1. A
sous-ensemble de V est dense dans V si tout élément
v ∈ V est la limite d'une suite an de points de A.
Dénition 4.2 (base hilbertienne).
Soit H un Hilbert. On appelle base
hilbertienne de H une suite (en ) d'éléments de H tels que pour tout n,
ken k = 1 et (en , em ) = 0 si n 6= m.
l'espace vectoriel engendré par la famille (en ) est dense dans H .
Remarque 4.3.
En dimension nie, on généralise la notion de base orthonormée. En dimension innie, un espace de Hilbert peut ne pas avoir de base
hilbertienne. Cependant, tous les espaces de Hilbert qu'on rencontrera dans
ce cours auront une base hilbertienne.
Proposition 4.4.
Soit H un Hilbert admettant une P
base hilbertienne
P 2 en et
soit u dans H . On pose un = (u, en ). Alors les séries n un en et n un sont
convergentes dans H et R respectivement, et
X
X
u=
un en , kuk2H =
u2n
n
n
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