Théorème de Toeplitz

Théorème de Toeplitz-Haussdorff
Gourdon, Algèbre, page 272
Théorème :
Soit E un espace hermitien de dimension finie n ≥ 1. Pour tout f ∈ L(E), on appelle
Haussdorffien de f l’ensemble :
H(f ) = {hf (x)|xi , x ∈ E, kxk = 1}
Alors, pour tout f ∈ L(E), H(f ) est une partie convexe et compacte de C.
De plus, si f est normal, alors H(f ) est exactement l’enveloppe convexe des valeurs
propres de f .
H(f ) est clairement compact car c’est l’image du compact {x ∈ E, kxk = 1} par l’application continue
x 7→< f (x)|x >.
Montrons que H(f ) est convexe. Donnons nous x, y ∈ E, kxk = kyk = 1 et posons
X =< f (x)|x >
et Y =< f (y)|y >
Il s’agit de montrer que [X, Y ] ⊂ H(f ).
Si X = Y , c’est terminé. Sinon, X 6= Y , et on va se ramener à [0, 1].
Il existe deux nombres complexes a et b tels que
aX + b = 1
aY + b = 0
Si on pose alors g = af + bIdE , on a :
[X, Y ] ⊂ H(f ) ⇐⇒ ∀t ∈ [0, 1], tX + (1 − t)Y ∈ H(f )
⇐⇒ ∀t ∈ [0, 1], ∃z ∈ E, kzk = 1 , tX + (1 − t)Y =< f (z)|z >
⇐⇒ ∀t ∈ [0, 1], ∃z ∈ E, kzk = 1 , < g(z)|z >= a(tX + (1 − t)Y ) + b = t
⇐⇒ [0, 1] ⊂ H(g)
Montrons donc que [0, 1] ⊂ H(g).
On sait que < g(x)|x >= 1 et < g(y)|y >= 0.
On écrit g = u + iv avec u, v hermitiens :
g=
g + g∗
i(g ∗ − g)
+i
2
2
Quitte à multiplier x par λ ∈ C, |λ| = 1, on peut supposer que < v(x)|y >∈ iR.
Or < g(x)|x >= 1 =< u(x)|x > −i < v(x)|x >, donc < v(x)|x >= 0.
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