II - Rappels de trigo - Univ

DOCUMENT ANNEXE
II - RAPPELS DE TRIGONOMÉTRIE
DEPARTEMENT SCIENCES
A.Biolluz
Janvier 2005
DOCUMENT ANNEXE
RAPPELS DE TRIGONOMETRIE
I - DÉFINITIONS RELATIVES AU TRIANGLE RECTANGLE
-
L'hypoténuse est le plus grand côté, opposé (faisant face) à l'angle droit.
-
L'angle droit est un angle de 90° ou
2
radians (symbole : rad):
90° = 3,1416... rad
2
le nombre irrationnel 3,1416… est noté π par convention.
Les deux angles α et β, autres que l'angle droit, sont aigus et
complémentaires, c'est à dire que leur somme est égale à 90° ou
-
2
radians.
α+β=
2
rad
ou
β=
2
-α
-
Le sinus d'un angle aigu est égal au quotient :
côté opposé
≤1
hypoténuse
-
Le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient :
côté adjacent
≤1
hypoténuse
-
La tangente d'un angle aigu est égale au quotient :
côté opposé
côté adjacent
M
QUE PEUT-ON EN DEDUIRE ?
Le triangle OMN est rectangle en N :
ONM =
2
MON = α
rad
sin(α) = cos(β) = MN
OM
tan(α) =
1 = MN
tan( ) ON
OMN = β
cos(α) = sin(β) = ON
OM
tan(α)=
0
N
sin( )
cos( )
1
=
=
tan( )
cos( )
sin( )
Si deux angles sont complémentaires :
- le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre,
- la tangente de l'un est égale à l'inverse de la tangente de l'autre.
L'inverse de la tangente se nomme aussi co-tangente.
1
II - LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon R égal à 1 unité (R = 1m ou
R = 1 cm etc.)
sinus
M'
M
α
0
N
cosinus
Si on trace le triangle rectangle OMN dans un tel cercle de centre O et de rayon
R = OM et donc d'angle au centre α, on constate que les quotients qui définissent
le sinus et le cosinus se simplifient puisque la longueur OM = 1.
sin(α) = NM = OM'
cos(α) = ON
Dans un cercle trigonométrique, le diamètre vertical, orienté vers le haut, est
appelé axe des sinus et le diamètre horizontal, orienté vers la droite, axe des
cosinus. Le centre O du cercle est l'origine des axes.
TABLEAU DE VALEURS POUR LES ANGLES AIGUS
On peut mémoriser facilement le tableau des valeurs des lignes trigonométriques
pour quelques valeurs d'angle rencontrées fréquemment.
30° ou
rad 45° ou
rad 60° ou
rad 90° ou
α
0° ou 0 rad
sin(α)
0
1
2
2
2
3
2
1
cos(α)
1
3
2
2
2
1
2
0
2
6
4
3
2
rad
APPLICATION DIRECTE A2-1
Sur un cercle de 7,5 cm de rayon, sont reportés des angles de 30°, 45° et 60°.
Vérifier que les mesures de leur sinus et cosinus correspondent aux valeurs
données dans le tableau précédent.
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III - CAS DES ANGLES OBTUS ET OUVERTS
Les angles obtus sont les angles plus grands que 90° ou
2
radian.
Les angles ouverts sont les angles plus grands que 180° ou π radians.
Leur sinus et leur cosinus ne peuvent plus se définir dans un triangle rectangle
mais à l'aide du cercle trigonométrique et de ses axes auxquels est ajouté un
sens positif de rotation (appelé sens de rotation trigonométrique) de la
droite vers la gauche.
Méthode : En partant de l'axe des cosinus et en tournant dans le sens positif, on
trace l'angle au centre obtus ou ouvert : la projection de son extrémité sur chaque
axe donne la mesure de son sinus et de son cosinus.
QUE PEUT-ON EN DEDUIRE ?
Dans le cas de ces angles, on observe que les sinus ou cosinus peuvent être
négatifs.
NOM2 est un angle obtus tracé dans le cercle trigonométrique.
sin(NOM2) = Om2 > 0
cos(NOM2) = On2 < 0
NOM3est un angle ouvert.
sin(NOM3) = Om3 < 0
cos(NOM3) = On3 < 0
sinus
M2
+
m2
M
M'
n3
M3
4
n2
N
0
m3
cosinus
IV - CAS DES ANGLES NÉGATIFS
Si les angles sont tracés en partant de l'axe des cosinus mais en tournant en sens
inverse du sens trigonométrique, ils sont considérés comme négatifs. Leur sinus
et cosinus sont évalués de façon identique par projection sur les axes
correspondants.
QUE PEUT-ON EN DEDUIRE ?
L'angle aigu NOM1 est négatif.
sin (NOM1) = Om1 < 0
cos (NOM1) = On1 > 0
sinus
+
β
n1
0
m1
N
α
cosinus
M1
L'angle négatif aigu NOM1 = α et l'angle positif ouvert NOM1 = β ont
évidemment même sinus et cosinus.
Si α = - 60° et β = 300° : sin(- 60°) = sin(+300°) et cos(- 60°) = cos(+ 300°)
V - LES RELATIONS
L'observation du cercle trigonométrique fait apparaître des relations entre les sinus
et cosinus des angles si ceux-ci ont des relations particulières entre eux.
Soit : NOM = α
NOM1 = - α
NOM2 = α +
2
NOM3 = α + π
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Les symétries de la figure montrent que :
sin(α) = - sin(- α)
sin(α +
2
cos(α) = cos(- α)
) = cos(α)
cos(α +
sin(α + π) = - sin(α)
M2
+
m2
M'
M3
M
α
n2
) = - sin(α)
cos(α + π) = - cos(α)
sinus
n3
2
n1
0
m3
m1
N
cosinus
M1
Ces relations, et d'autres encore, ne sont pas à mémoriser en tant que telles mais
doivent pouvoir être retrouvées à partir de la mémorisation du cercle
trigonométrique, de ses axes et de son sens de parcours positif.
APPLICATION DIRECTE A2 -2
Retrouver ainsi les relations qui peuvent lier sinus et cosinus des angles α et β si :
α+β=π
α + β = 2π
En déduire en s'aidant du tableau page 2 que : cos( 5 ) = sin( 5 )
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SOLUTIONS DES APPLICATIONS DIRECTES
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