TERMINALE S Tout le chapitre 1 : les nombres

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Tout le chapitre 1 : les nombres complexes [forme algébrique]
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SOMMAIRE
I. 1.ACTIVITES .................................................................................................................................................... 2
ACTIVITE 1.......................................................................................................................................................... 2
ACTIVITE 2.......................................................................................................................................................... 2
I. 2. NOTION DE NOMBRE COMPLEXE........................................................................................................ 2
DEFINITIONS ET PROPRIETES. .............................................................................................................................. 2
I. 3. INTERPRETATION GEOMETRIQUE..................................................................................................... 4
I. 4. AFFIXE D’UN VECTEUR, D’UN BARYCENTRE .................................................................................. 4
I.5. NOMBRES COMPLEXES CONJUGUES .................................................................................................. 5
I.6. REGLES DE CALCULS SUR LES NOMBRES COMPLEXES............................................................... 6
I.7. MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE. ................................................................................................. 6
I.8. OPERATIONS SUR CONJUGUES ET MODULES.................................................................................. 7
I. 9. SECOND DEGRE A COEFFICIENTS REELS......................................................................................... 8
EXERCICES 1 A 6 P.309 – 8 A 12 – 19 – 31 – 41 – 61 - 62 ............................................................................... 8
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I. 1.Activités
Activité 1
En 1545 le mathématicien italien Jérome Cardan (1501-1576) publia une formule permettant sous certaines
conditions de trouver une solution à une équation du troisième degré. On montre qu’une équation du troisième
degré quelconque peut toujours s’écrire sous la forme :
x 3 + px + q =0 p et q étant deux nombres réels.
Une solution à cette équation est alors donnée par la formule suivante :
1. On considère les deux fonctions f et g définies sur R par
f (x)= x 3 +2x +3 et g(x)= x 3 - 15x - 4
a) Etudier les variations de ces deux fonctions sur R et dresser leur tableau de variations. (On pourra s’aider de la
calculatrice)
b) En déduire le nombre de solutions sur R des équations f (x) = 0 puis g(x) = 0.
2. Etude de l’équation (F) : x3 +2x +3 = 0.
a) Appliquer la formule de Cardan à cette équation.
b) Vérifier que :
3
11⎞⎤ 3 5
⎟⎥ = +
3 ⎠⎦ 2 6
⎡ 1⎛
⎢ ⎜1 +
⎣ 2⎝
11
3
⎡1⎛
et que ⎢ ⎜-1 +
⎣2⎝
3
11⎞⎤
⎟⎥
3 ⎠⎦
3 5
=- +
2 6
11
3
c) En déduire une expression simple d’une solution à l’équation (F).
3. Etude de l’équation (G) : x3 - 15x – 4 = 0.
a) Appliquer la formule de Cardan à cette équation, que se passe t-il ?
b) Le mathématicien italien Bombelli (1526-1573) eu l’idée d’appliquer la formule de Cardan à l’équation (G) et
de poursuivre les calculs en considérant que -484 existe et on le qualifie de "nombre imaginaire". Par
utilisation des règles usuelles de calcul on a alors
- 22² =
22² × (-1) = 22 -1
Ce "nombre imaginaire", -1 reçut en 1777 une notation particulière, Euler nota i ce nombre imaginaire, et il posa
i² = -1 ;ce qui permet de poser -484 =22i
Avec cette notation écrire la formule de Cardan obtenue pour l’équation (G).
c) En appliquant les formules usuelles de calcul dans R, développer (2 + i)3 et (2 - i)3
d) En déduire une expression simple d’une solution à l’équation (G).
f) Vérifier que x3 - 15x – 4 = (x – 4) (x² + 4x + 1) puis résoudre (G).
Activité 2
2 p .284
I. 2. Notion de nombre complexe
Définitions et propriétés.
Définition n°1 : On appelle nombre complexe un nombre de la forme z = a + ib où a et b sont
deux réels et i un symbole tel que i2 = -1. Cette écriture est appelée forme algébrique du
nombre complexe z.
L’ensemble de tous les nombres complexes se note C. Les règles de calculs pour l’addition et
la multiplication restent les mêmes que dans R.
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Exemples :
2+3i ; -1+i 2 sont des nombres complexes.
0 + 0 × i = 0est un nombre complexe particulier et d’une façon générale :
si x est un nombre réel alors x + 0 × i = x est un nombre complexe.
Propriété 1: Tout nombre réel est un nombre complexe particulier, on dit que l’ensemble des
nombre réels est inclus dans l’ensemble des nombres complexes et on note R ⊂ C
NB : 3i = 0 + 3i et -2i = 0 + (-2)i sont des nombres complexes. On dit que ce sont imaginaires
purs.
Définition n°2 : On appelle imaginaire pur tout nombre complexe de la forme ib où b est un
nombre réel. L’ensemble des nombres imaginaires purs se note iR.
Remarque : 0 est imaginaire pur.
Parmi les nombres complexes a + ib, les deux cas particuliers des nombres réels et
imaginaires purs, sont obtenus en faisant a = 0 ou b = 0.
C’est ainsi que l’on définit la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe.
Définition n°3 : Soient a et b deux nombres réels, et z le nombre complexe a + ib.
a est appelé partie réelle de z et b partie imaginaire de z. On note a = Re(z) et b = Im(z) .
Remarque : la partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel, il n’y a pas de
"i".
Exemples : z = 2 – i 3
La partie réelle de z est 2 et sa partie imaginaire est - 3.
Puisque 0 = 0 + 0 × i il s’ensuit que la partie réelle et la partie imaginaire de 0 sont toutes
deux nulles.
Réciproquement si a = b = 0, alors z = a + ib = 0 + 0 × i = 0
Propriété 2: Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire
sont nulles.
z = 0 ⇔ Re(z) = Im(z) = 0
Conséquences :
• Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
• Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.
• z ∈ R ⇔ Im(z) = 0 et z ∈ iR ⇔ Re(z) = 0
• 0 est le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur.
Calculs : On calcule dans C comme dans R.
Deux nombres complexes z = a + ib et z’ = a’ + ib’, il vient
z = z’ ⇔ z – z’ = 0 ⇔ (a + ib) - (a’ + ib’) = 0 ⇔ a – a’ + ib – ib’ = 0 ⇔ a – a’ + ib – ib’ = 0
Soit z = z’ ⇔ (a – a’) + i(b – b’) = 0 ⇔ a – a’ = 0 et b – b’ = 0 ⇔ a = a’ et b = b ‘.
Ce qui signifie que z et z’ on même partie réelle et même partie imaginaire, d’où :
Propriété 2: Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle
et même partie imaginaire. z = z’ ⇔ Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)
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I. 3. Interprétation géométrique.
⎯→ ⎯→
(O ; OU , OV ) étant un repère du plan,
A tout nombre complexe z = a + ib, a et b étant deux réels, on associe un unique point M du
plan qui aura pour coordonnées (a, b), et réciproquement à tout point M du plan on associe
l’unique nombre complexe z = a + ib où a et b sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée de
ce point M.
Ce nombre complexe z se nomme affixe du point M.
Le plan est appelé plan complexe.
Définition n°4 : On appelle affixe du point M, le nombre complexe z = a + ib où, a et b sont
dans cet ordre, l’abscisse et l’ordonnée du point M.
M est appelé point image du nombre complexe z = a + ib.
Notation : M(z) exprime le fait que l’affixe de M est z.
Si l’on considère plusieurs points, on notera zA l’affixe de A, zB l’affixe de B, etc...
On nomme l’axe des abscisses "axe des réels" et l’axe des ordonnées "axe des imaginaires
purs".
I. 4. Affixe d’un vecteur, d’un barycentre
→
Définition n°5 : L’affixe du vecteur u (x, y) est le nombre complexe, qu’on peut noter
→
Aff ( u ), défini par = x + iy.
→
⎯→
D’où pour u = AB avec A et B qui ont pour affixes respectives zA = xA + iyA et
⎯→
zB = xB + iyB, le vecteur AB ayant pour coordonnées (xB - xA; yB - yA), on a donc:
⎯→
Aff ( AB ) = xB - xA + i( yB - yA) = xB - xA + iyB - iyA =(xB + iyB) - (xA + iyA)= zB - zA
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⎯→
Propriété 3 : Soient deux points A(z) et B(z) alors le vecteur AB a pour affixe = zB - zA
De même le barycentre G des points pondérés (A,a) , (B , b) avec a + b non nulle a pour
az + bzB
affixe : A
a+b
Le point image M d’un tel complexe aura comme affixe z = x + 0 × i et donc comme
coordonnées (x, 0) ce qui signifie qu’il appartient à l’axe des abscisses.
Réciproquement, un point de l’axe des abscisses a pour coordonnées (x, 0) et comme affixe
z = x + 0 × i = x, ce qui implique qu’il soit réel.
• Un nombre complexe est réel si et seulement si son point image appartient à l’axe des
abscisses.
• un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si son point image appartient à l’axe
des ordonnées.
Exercice :
→ →
Placer les points suivants dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O, u , v )
A(1) ; B(i); C(1+ i); C’(1 - i); D(3 - 2i); D’(3 + 2i)
I.5. nombres complexes conjugués
Définition 6 : Soit un nombre complexe z = a + ib avec a et b réel, on appelle nombre
complexe conjugué de z le nombre complexe noté z défini par z = a - ib
Exemples
1+ i =1- i ; 3-2i = 3+2 ; i = 0 + i = 0 – i = -i ; 1 = 1 + 0 × i =1- 0 × i =1
On remarque que i et i sont opposés alors que 1et 1 sont égaux.
Ceci est général, en effet si M(z) avec z réel, M sera invariant par la symétrie d’axe (Ox) et
donc M(z) et M’( z )seront confondus d’où z = z , et réciproquement.
Dans le cas où M(z) avec z imaginaire pur, M appartient à l’axe (Oy) et son symétrique par
rapport à (Ox) aura pour affixe -z, d’où z = -z, et réciproquement.
Propriété 4 : Un nombre complexe est réel si et seulement s’il est égal à son conjugué.
Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement s’il est égal à l’opposé de son
conjugué.
z ∈ R ⇔ z = z et z ∈ iR ⇔ z = -z
conséquences :
•
•
z =z
z = a + ib, avec a et b réels: z + z = a + ib + a - ib = 2a = 2Re(z)
• z - z = a + ib - (a - ib) = a + ib - a+ ib = 2ib = 2iIm(z)
ce qui permet d’obtenir:
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z+ z
•
Re(z) =
•
Im(z) =
2
z- z
2i
I.6. Règles de calculs sur les nombres complexes.
Exercice :
Effectuer les opérations suivantes puis placer les points obtenus dans le plan complexe muni
→→
d’un repère orthonormé (O, u , v ):
z1 =(2+5i) + (1-2i); z2 = (-2+4i) - (1+3i); z3 =(3+2i) × (1-i); z4 =
2 + 3i
1 + 2i
; z5 =
3
1+i
Solution
2
3 i
z1 =3+3i ; z2 =-3+i ; z3 =3- 3i +2i - 2i2 = 5- i ; z4 = + i; z5 = +
3
2 2
2
3 i
Soient les points M1(3+3i); M2(-3+i); M3(5- i); et M4( + i) et M5 ( + )
3
2 2
Règle pratique.
Pour mettre un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le
numérateur et le dénominateur de ce quotient par le conjugué du dénominateur
z1 × z2
z
Soit, z2 non nul alors : 1 =
z2 z2 × z2
Donc si le dénominateur est sous la forme z = a + ib, avec a et b réels, on obtient alors
z z =(a +ib) × (a - ib) = a² - (ib)² = a² - i²b² = a² + b²
Propriété 5: Soit z = a + ib avec a et b réels, alors z z = a² + b²
Application : Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
z1 = (2+3i)(2- 3i); z2 = (2+3i)2 ; z3 =
1
2 - 3i
et z4 =
i
2-i
Identités remarquables:
(z +z‘)² = z² +2zz ‘ + z’²
(z - z‘)² = z² - 2zz’ + z’ ²
z ² - z‘² =(z – z’)(z + z’)
z ² + z’² =(z + iz’)(z – iz’)
I.7. Module d’un nombre complexe.
Définition 7: On appelle module du nombre complexe z = a + ib avec a et b réels la distance
OM où M est le point du plan complexe d’affixe z, on note ce module | z | donc :
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| z | = | a + ib | = a² + b²= OM
Application:
Considérons deux points A(xA,yA) et B(xB,yB) d’affixes respectives zA = xA + iyA et
zB = xB + iyB, puisque zB - zA =(xB + iyB) - (xA + iyA)=(xB - xA)+ i(yB - yA) d’après la formule
usuelle donnant la distance entre deux points du plan, il vient
AB = (xB - xA)² +(yB - yA)² = | zB - zA |
Propriété 6: Soient A et B deux points d’affixes respectives zA et zB alors AB = | zA - zB |
Une conséquence de la définition du module est que z z = a ² + b² = | z |²
I.8. Opérations sur conjugués et modules
Propriétés de la conjugaison et du module.
Dans tout ce qui suit z =a + ib et z’ =a’ + ib’ sont deux nombres complexes écrits sous forme
algébrique et le plan complexe est muni d’un repère orthonormal
|z|=⎪⎪ z ⎪⎪
|-z | = |z |
(-z) = - z
• Conjugué d’une somme ou d’une différence :
z + z’ = z + z’ et de même z –z’ = z - z’
• Module d’une somme ou d’une différence :
Soient M(z), M’(z’) et R(z +z’),alors |z +z’| = OR, or d’après l’inégalité triangulaire valable
pour tous les points du plan, on obtient |z +z’| = OR ≤ OM+MR
. |zM |+|zR -zM | = |z |+|z +z’ -z | = |z |+|z ‘ |
On a donc |z +z ‘| ≤ |z |+|z’|
• Conjugué d’un produit.
z ×z’ = (a + ib)(a’ + ib’)=aa’ –bb’ + iab’ + ia’b = aa’ – bb’ + i(ab’ + a’b)
z ×z’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + a’b) = aa’ – bb’ - i(ab’ + a’b)
z × z’ = (a - ib)(a’ - ib’)=aa’ –bb’ - iab’ - ia’b = aa’ – bb’ - i(ab’ + a’b)
Donc : Le conjugué d’un produit est égale au produit des conjugués
z ×z’ = z × z’
• Module d’un produit.
|z × z’|² = a² + b² = z z’ × z z’ . = z ² ×z ‘² = z ²× z’ ²= d’après le résultat précédent.
Les quantités ont donc des carrés égaux, or comme ce sont des nombres réels positifs nous
pouvons en conclure qu’ils sont égaux, d’où : on retiendra que :
Le module d’un produit est égal au produit des modules
|z × z’| = |z| × |z’|
• Module et conjugué d’une puissance.
Soit n un entier naturel non nul.: |zn| =|z|n et zn = z
n
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• Conjugué d’un quotient.
On retiendra que :
Le conjugué d’un quotient est égal au quotient des conjugués : (
z’
z’
)=
z
z
⎛1⎞ 1
En particulier si le numérateur vaut 1, ⎜ z⎟ = .
⎝ ⎠ z
• Module d’un quotient.
On retiendra que :
⎪z’⎪ |z’|
Le module d’un quotient est égal au quotient des modules : ⎪ z ⎪ =
⎪ ⎪ | z|
⎪1⎪ 1
En particulier si le numérateur vaut 1, ⎪ z⎪ =
⎪ ⎪ | z|
I. 9. Second degré à coefficients réels
Racines carrées d’un réel dans C.
Définition : les solutions de l’équation z² = a, avec a réel, sont appelées racines carrées de a
dans C.
Propriété : Tout réel non nul admet deux racines carrées dans C.
Si a > 0, z² = a admet deux racines réelles a et - a
Si a < 0, z² = a admet deux racines complexes i -a et -i -a
Exemples : z² = -3 admet deux solutions i 3 et –i 3
Résolution de az² + bz + c = 0, avec a ,b , c réels et a non nul.
Définition :
Soit ∆ = b² - 4ac,
b
si ∆ = 0, une solution réelle est –
2a
-b + ∆
-b - ∆
si ∆ > 0, deux solutions réelles
et
2a
2a
-b + i -∆
et
si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées
2a
-b – i -∆
2a
Exemples z² + z + 2 = 0
si ∆ = -7, deux solutions complexes conjuguées
-1 + i 7
et
2
-1 – i 7
2
exercices 1 à 6 p.309 – 8 à 12 – 19 – 31 – 41 – 61 - 62
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