Nombres complexes

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Nombres complexes
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1 Introduction
Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées 3 et −3.
Par contre, aucun réel négatif n’a de racine carrée (réelle).
Les nombres complexes offrent la possibilité de pallier à cette injustice !
1.1 Le nombre i
Le nombre i est un nombre dont le carré vaut −1. Ainsi, i 2 = −1.
De plus, son opposé −i a aussi pour carré −1. En effet : (−i )2 = i 2 = −1.
Les deux racines de −1 sont les deux nombres réels i et −i .
Un peu d’histoire : La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du X I X ème siècle. Cependant, le
premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637.
1.2 L’ensemble des nombres complexes
Définition 1
On définit l’ensemble C dont les éléments sont appelés nombres complexes qui a les caractéristiques suivantes :
• C Contient R
• Il contient le nombre i vérifiant i 2 = −1.
• L’addition et la multiplication ont les mêmes propriétés dans C que dans R
Remarque 1
C est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
2 Forme algébrique
2.1 Définition
Définition 2
Chaque élément z de l’ensemble C s’écrit de manière unique z = a + i b, a et b étant des réels.
• a est appelé partie réelle de z et est noté a = Re(z),
• b est appelé partie imaginaire de z et est noté b = Im(z).
Définition 3
−
−
On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O; →
u ;→
v ).
b
• Au point M de coordonnées (a; b) on peut associer le nombre complexe z = a+i b,
on dit que z = a + i b est l’affixe du point M.
−
w de coordonnées (a; b) on peut associer le nombre complexe z =
• Au vecteur →
−
a + i b, on dit que z = a + i b est l’affixe du vecteur →
w.
→
−
v
M(z = a + i b)
b
→
−
w
0
→
−
u
Remarque 2
Nombres particuliers :
p
2 ; z3 = π sont des réels.
p
• Si a = 0 alors z = i b, on dit que z est un imaginaire pur. Ex : z4 = 2i ; z5 = 3 i sont des imaginaires purs.
• Si b = 0 alors z = a, z est donc réel. Ex : z1 = 3 ; z2 =
Propriété 1
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :
z = z0
⇔
a + i b = a0 + i b0
1
⇔
a = a 0 et b = b 0 .
a
2.2 Calculs dans C
Propriété 2 ( Addition et multiplication )
On pose z = a + i b, z 0 = a 0 + i b 0 et k un réel, on a :
• z + z 0 = (a + a 0 ) + i (b + b 0 ),
• z − z 0 = (a − a 0 ) + i (b − b 0 ),
• kz = ka + i kb,
• zz 0 = (aa 0 − bb 0 ) + i (ab 0 + a 0 b).
Définition 4 ( Conjugué )
On appelle conjugué du nombre complexe z = a + i b le nombre z = a − i b.
M(z = a + ib)
b
b
→
−
w
Géométriquement, si M1 est le point d’affixe z, le point M2 d’affixe z est le
symétrique de M1 par rapport à l’axe des abscisses.
a
0
b
M 0 (z = a − ib)
Remarque 3
Soit z = a + i b, on a : zz = (a + i b)(a − i b) = a 2 − (i b)2 = a 2 + b 2 qui est un nombre réel.
Propriété 3 ( Inverse d’un nombre complexe )
z
z
a −ib
1
= 2
.
=
= 2
2
z zz a + b
a + b2
Propriété 4
Soit z et z 0 deux nombres complexes, alors :
• z + z 0 = z + z 0.
•
z × z 0 = z × z 0.
• z est réel ⇐⇒ z = z.
•
z est imaginaire pur ⇐⇒ z = −z.
•
Im(z) =
•
³z´
1
• Re(z) = (z + z).
2
µ ¶
1
1
•
= .
z
z
z0
•
z = z.
1
(z − z).
2i
z
=
z0
2.3 Opposé d’un nombre complexe
b
Géométriquement, si M1 est le point d’affixe z, le point M3 d’affixe
−z est le symétrique de M1 par rapport à l’origine O du repère.
−a
M3 (−z)
→
−
w
M1 (z)
a
0
−b
M2 (z)
3 Equation du second degré
Propriété 5
Soit az 2 + bz + c = 0 une équation du second degré où a; b; c ∈ R avec a 6= 0.
On pose ∆ = b 2 − 4ac.
p
p
−b + ∆
−b − ∆
• Si ∆ > 0, l’équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes : z1 =
et z2 =
.
2a
2a
−b
.
• Si ∆ = 0, l’équation du second degré admet une unique solution réelle : z0 =
2a
p
p
−b + i −∆
−b − i −∆
• Si ∆ < 0, l’équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées : z1 =
et z2 =
.
2a
2a
2