Cours - Playmaths

Nombres complexes
Introduction : équations à résoudre
I. Notion de nombres complexes
1) Définitions
On appelle i un nombre dont le carré vaut –1.
Remarque :
Il n’existe pas de nombre réel solution de l’équation x²= -1.
Le nombre i n’est donc pas un nombre réel.
On appelle nombre complexe un nombre qui peut s’écrire sous la forme z = a + ib avec a et b
nombres réels.
L’ensemble de tous ces nombres complexes est notés ℂ.
2) Propriétés
Les opérations dans ℂ obéissent aux mêmes règles de calcul que dans ℝ.
Exemples :
Développer A = ( 3 – 2i )( 1 – i )
B = ( 3 + i )(3 – i)
C = (4 – 3i )²
On donne z = 3 – 2i, donner l’opposé de z et son inverse.
Ex 9-10(q1)-12 p.303
Théorème :
Soit z un nombre complexe.
z s’écrit de manière unique sous la forme z = a + ib où (a, b) ℝ².
Cette écriture est appelée forme algébrique de z.
Le réel a est appelé la partie réelle de z, et on note Re(z) = a.
Le réel b est appelé la partie imaginaire de z, et on note Im(z) = b.
Si b = 0, on obtient un nombre réel, ce qui prouve que ℝ  ℂ.
Si a = 0, on obtient un nombre dit imaginaire pur.
Théorème :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la
même partie imaginaire.
a +ib = a’ + ib’ équivaut à a = a’ et b = b’
a +ib = 0 équivaut à a = b = 0
Exercice :
Soit z = a + ib un nombre complexe non nul (a ; b) ℝ².
Déterminer la forme algébrique, la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse de z.
(
1
a  ib

)
z a²  b²
Ex 13-14-15-16-17-27 p.303
1
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2
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II. Conjugué et module
1) Définitions
Soit z = a +ib un nombre complexe où a et b sont deux réels.
Le conjugué de z, noté z , est le nombre complexe égal à a – ib.
Le module de z, noté z , est le réel positif
a²  b² .
Exemples :
Conjugué et module de i, a, 2 +3i …
2) Propriétés du conjugué
Soit z un nombre complexe. Alors :
1) z  z
2) Re(z) =
zz
2
3) Im(z) =
zz
2i
4) z est réel si et seulement si z = z
5) z est imaginaire pur si et seulement si z = - z
Pour tous nombres complexes z et z’ :
1) z  z'  z  z'
2) zz'  z z'
n
5) Pour tout n  ℤ , z  z
1
1
3) si z ≠ 0,   
z
n
z
z
4) si z’≠ 0,   
 z' 
z
z'
dem : ex 25 p.303
soit z = a +ib avec a et b réels. A faire en exercices.
Ex 21-22-23-26 p.303
3) Propriétés du module
Soient z et z’ deux nombres complexes. Alors
1) z  z
4)si z≠0,
2) z  z
1
1

z
z
4) z
3) z z'  z z'
5)si z’≠0,
z
z

z'
z'
2
zz
6) Pour tout n  ℤ et z ≠0, z n  z n
dem : en exercices
4) Inégalité triangulaire
Pour tous nombres complexes z et z’, on a : z  z'  z  z'
Dem : inégalité triangulaire avec parallélogramme
Ex 37-38-39-40-41 p.305
3
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III. Equations dans ℂ
1) Equations dans ℂ
Résoudre une équation dans ℂ consiste à déterminer tous les nombres complexes rendant
l’égalité donnée vraie.
Certaines équations se résolvent en utilisant les mêmes techniques que celles utilisées dans
ℝ ; c’est le cas des équations faisant intervenir uniquement z, ou uniquement z …
D’autres équations nécessitent le recours à la forme algébrique.
Exemples :
1) z  i(z  i) ( z =
2) z²  5z  3  0
3) z²  5z  7  0
1 1
 i )
2 2

 5  13 5  13 

S= 
;

2
2




S=∅
2) Equations du second degré à coefficients réels
Théorème :
Soit f une fonction définie sur ℂ par f(z) = az²+ bz + c, où a, b et c désignent 3 réels avec a
≠0 et l’équation az²+ bz + c = 0 de discriminant  = b² - 4ac.
Il existe un nombre complexe  tel que    2 et l’équation f(z) = 0 a deux solutions
complexes : z1 
b  
b  
et z2 
.
2a
2a
On a, de plus, f(z) = a(z  z1 )(z  z2 ) .
Dem : forme canonique ….
Exemples :




1) z 3  3z 2  7z  0 1 S = 0;
2) 2z²  4z  3  0
3) 
1
 2  2z
z
3  i 19 3  i 19 

;

2
2




2
2 
;1  i

2
2 
1 1 1 1 
S =   i ;  i
2 2 2 2 
S =  1  i
Ex 30 à 36 p.304
IV. Représentation géométrique
1) Affixe d’un point
Si on se donne un repère orthonormé direct (O, u , v ) du plan, on peut identifier l’ensemble ℂ
au plan comme suit :
A chaque point M de coordonnées (a ; b), on associe le nombre complexe zM = a +ib.
On dit alors que zM est l’affixe du point M
Réciproquement, à chaque nombre complexe z = a + ib, on associe un point M de coordonnées
(a ; b). On dit que M est l’image de zM.
On parle alors du plan complexe.
4
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Rque :
A chaque nombre réel a, on associe un point M de l’axe des abscisses, d’abscisse a.
A chaque nombre « imaginaire pur » ib, on associe un point M de l’axe des ordonnées,
d’ordonnée b.
Ex 11 p.303
2) Affixe d’un vecteur
A chaque nombre complexe z = a + ib, on associe un vecteur w de coordonnées (a ; b).
Pour tout vecteur w de coordonnées (a ; b), on associe le nombre complexe z = a + ib appelé
affixe du vecteur w .
Rque :
Pour tout vecteur w , il existe un unique point M dans le plan tel que OM = w et donc
zM  xM  i yM étant l’affixe du point M, zM  xM  i yM est aussi l’affixe du vecteur
Notation :
zM  xM  i yM l’affixe d’un point M.
z  x  i y l’affixe d’un vecteur w .
w
w
w
Propriétés :
z
z z
z
w t
kw
z
AB
w
 kz
t
w
 zB  zA
Dem : …
zB  zA est l’affixe du vecteur AB :.
 xB  xA 
 , c'est à
En effet zB  zA  .... donc zB  zA est l’affixe du vecteur de coordonnées 
 yB  yA 
dire du vecteur AB .
Egalité :
wtz z
w
t
Conséquence : w et t sont colinéaires équivaut à ( zt  0 ) ou ( zt  0 et il existe un réel k
tel que zw  kz t
Exercice :
Soient A, B et C trois points distincts deux à deux, d’affixes respectives zA , zB et zC .
z  zA
Montrer que A, B et C sont alignés équivaut à C
 ℝ.
zB  zA
Ex 19 p.303
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3) Module et affixe
Propriété :
z
AB
 AB
Dem :
Ex 52-53-54(1 façon)-55-56 (1 à4)-58-59(a-b) p.303
Exercices supplémentaires
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