6. Activités trigonométriques
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6. Activités trigonométriques I. Points sur le cercle trigonométrique Soit C le cercle trigonométrique muni d'un repère orthonormal (O, OA, OB). Placer sur C, figure 1, les points M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8, M9 et M10 tels que : π π ; (OA, OM2) = ; 3 6 (OA, OM3) = 3 π ; (OA, OM4) = π ; 4 (OA, OM5) = 5 π ; (OA, OM6) = - π ; 2 6 π π (OA, OM7) = 17 ; (OA, OM8) = -13 3 6 π π (OA, OM9) = -5 ; (OA, OM10) = -29 3 2 (OA, OM1) = y B C ; x O A Rappel : L'angle π (radian) vaut 180 ° ................................................................................................................. Fig. 1 ................................................................................................................. ................................................................................................................. x (rad) 0 π 6 π 4 π 3 π 2 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 sin x 0 1 2 2 2 3 3 1 tan x 0 3 3 1 3 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. II. Valeurs remarquables En utilisant le tableau ci-contre, et les positions de M sur le cercle trigonométrique précédent compléter le tableau ci-dessous. x (rad) π 4 π 3 5π 6 - π 4 π 2 π 3 π 2 -5 π 6 -3 π 4 13 π 4 -13 π 4 cos x ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... sin x ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... tan x ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... 43 6. Activités trigonométriques III. Résolution dans R de l'équation cos x = a 1. Que peut-on dire de l'équation cos x = a si a > 1 ou a < -1 ? ............................................................................................................................................................................................................................. 2. Préciser l'unité graphique du cercle trigono- y métrique ci-contre B ................................................................................................................. Soit l'équation cos x = 0,5 (E) C 3. Résoudre graphiquement cette équation sur l'intervalle [0 ; π ]. Donner la valeur exacte O notée α 1. A x ................................................................................................................. 4. En déduire la valeur α 2 d'une autre solution de cette équation sur l'intervalle [-π ; 0]. Fig. 2 ................................................................................................................. 5. Les réels x = 7 π et x = -5 π sont-ils solutions de (E) ? 3 3 ............................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................. 6. Quelles relations existe-t-il entre α 1 et les réels x = 7 π π et x = -5 ? 3 3 ............................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................. 7. Les réels x = 5 π π et x = -7 sont-ils solutions de (E) ? 3 3 ............................................................................................................................................................................................................................. 8. Quelles relations existe-t-il entre α 2 et les réels x = 5 π π et x = -7 ? 3 3 ............................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................. 9. Généraliser et en déduire l'ensemble des solutions dans R de l'équation cos x = 0,5 ............................................................................................................................................................................................................................. 44 6. Activités trigonométriques 10. Conclure en donnant les étapes de résolution de l'équation cos x = a dans R. ................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................. 11. Résoudre dans R l'équation cos x = -0,4 (calculatrice en mode radian) ................................................................................................................................................................................................................................. IV. Résolution dans R de l'équation sin x = b 1. Que peut-on dire de l'équation sin x = b si b > 1 ou b < -1 ? ................................................................................................................................................................................................................................. 2 0,7 (E') 2 2. Résoudre graphiquement cette équation sur l'intervalle [- π ; π ]. Donner la valeur exacte 2 2 notée α 1. Soit l'équation sin x = y B C ................................................................................................................ 3. En déduire la valeur α 2 d'une autre solution π π de cette équation sur l'intervalle [ ; 3 ]. 2 2 O A x ................................................................................................................ 4. Les réels x = 9 π 4 solutions de (E') ? et x = -7 π 4 sont-ils Fig. 3 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 5. Quelles relations existe-t-il entre α 1 et les réels x = 9 π et x = -7 π ? 4 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 6. Les réels x = 11 π et x = -5 π sont-ils solutions de (E') ? 4 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 45 6. Activités trigonométriques 7. Quelles relations existe-t-il entre α 2 et les réels x = 11 π et x = -5 π ? 4 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 8. Généraliser et en déduire l'ensemble des solutions dans R de l'équation sin x = 2 2 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 9. Conclure en donnant les étapes de résolution de l'équation sin x = b dans R .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 10. Résoudre dans R l'équation sin x = 0,7 (calculatrice en mode radian) .............................................................................................................................................................................................................................. V. Résolution dans R de l'équation tan x = c Sur le cercle trigonométrique, on considère la y droite (T) tangente au cercle au point A. Cette axe des tangentes N droite est munie d'un repère (A, j). Soit M le point du cercle tel que (OA, OM) = x. La droite (OM) coupe la droite (T) en un point de coordonnées N(1 ; tan x). 1. Déterminer graphiquement et vérifier avec la calculatrice les valeurs de : Valeurs lues sur le graphique à 0,1 tan π = ................. 4 π tan 2 = ................. 3 Valeurs lues sur la calculatrice à 0,01 tan π = ........................ 4 π tan 2 = ..................... 3 tan π = ................. tan π = π = ................. 6 tan -5 π =................. 6 tan - π = 6 tan -5 π = 6 tan - B M C j x O x A ..................... ................... ................... Fig. 4 46 6. Activités trigonométriques 2. A l'aide du cercle trigonométrique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'équation tan x = c n'a pas de solution. ................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................ Soit α 1 un nombre réel et soit M1 le point du cercle y trigonométrique tel que mes (OA, OM1) = α 1. Soit B M2 le point du cercle trigonométrique diamétralement opposé à M1, et soit α 2 le nombre réel tel C α2 que mes (OA, OM2) = α 2. 3. Quelle relation existe-t-il entre α 1 et α 2 ? N M1 j x α1 A O ............................................................................................................................. M2 4. Conclure en donnant les étapes de résolution de l'équation tan x = c dans R, x = π + kπ , k entier relatif 2 Fig. 5 ........................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................ 5. Résoudre dans R l'équation tan x = - 0,5 (calculatrice en mode radian) ........................................................................................................................................................................................................................ VI. Relations trigonométriques dans le triangle Considérons un triangle ABC avec dans le premier cas B aigu et dans un second cas B obtus. H est le pied de la hauteur issue de A. On pose alors a = BC, b = AC et c = AB. A A c b b c B H a C H B a C 1. Exprimer, pour chaque cas, sin ABH dans le triangle ABH. Comparer sin ABH et sin ABC. En déduire AH en fonction de c et sin B (du triangle ABC). ................................................................................................................ .......................................................................................................... ................................................................................................................ .......................................................................................................... ................................................................................................................ .......................................................................................................... 47 6. Activités trigonométriques 2. En déduire pour les deux cas, l'aire du triangle ABC en fonction de a et de c. ........................................................................................................................................................................................................................... 3. Quelles relations obtient-on de la même manière, en permutant les sommets du triangle ABC ? ........................................................................................................................................................................................................................... 4. Quelles relations obtient-on en divisant les trois termes par 1 abc ? 2 ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... 5. Soit ABC un triangle quelconque. En posant BC = AC - AB exprimer BC2 en fonction de AB et AC puis utiliser l'expression en cosinus du produit scalaire. En déduire BC2 A en fonction de AB, AC et cos A. ................................................................................................................................................................. c ................................................................................................................................................................. b ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. B a C 6. Quelle relation obtient-on entre a, b et c ? Quelles relations obtient-on en permutant les sommets du triangle ? ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... 7. Dans un triangle quelconque ABC, déterminer a, B et C si b = 4, c = 5 et A = 60° ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... 48
