Trigonométrie Circonférence trigonométrique Fonctions

Trigonométrie
Circonférence trigonométrique
Fonctions trigonométriques d’un angle orienté
Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle
Signes des fonctions trigonométriques
Périodicité des fonctions trigonométriques
Graphiques des fonctions trigonométriques
Variations des fonctions trigonométriques
Zéros des fonctions trigonométriques
Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques
Expressions des fonctions trigonométriques par rapport à une seule
Valeurs des fonctions trigonométriques pour quelques angles remarquables
Angles associés
Réduction au premier quadrant
Formules d’addition et de soustraction
Formules de duplication
Formules de triplement
Formules de bissection
Formules de transformation de sommes en produits
Formules de Werner
Sin et Cos comme fonctions rationnelles de Tan /2
Puissances des fonctions trigonométriques
Solution des triangles rectangles
Solution des triangles quelconques
Formules de Briggs
Aire des triangles
Rayons des circonférences inscrites et circonscrites
Périmètres et aires de polygones réguliers inscrits et circonscrits à une circonférence
Fonctions trigonométriques inverses
Relations entre fonctions trigonométriques inverses du même sujet
Somme de fonctions trigonométriques inverses
Fonctions trigonométriques inverses de sujet négatif
Graphiques des fonctions trigonométriques inverses
Circonférence trigonométrique
Une circonférence de rayon égal à 1 (OP = 1) et avec le centre à l’origine d’un système
de coordonnées cartésiennes orthogonales est appelé trigonométrique.
L’angle est considéré orienté vers le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre :
les segments parallèles à l’axe x ou y sont considérés positifs ou négatifs selon que leur
sens coïncide ou non avec le sens positif des axes.
Fonctions trigonométriques d’un angle orienté
Dans une circonférence trigonométrique on définit les fonctions trigonométriques (ou
circulaires) de l’angle orienté :
Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle ABC où :
c est l’hypoténuse
a est le coté opposé à et adjacent à
b est le coté opposé à et adjacent à
Les fonctions trigonométriques sont déterminées comme suit :
NB : moyen mnémotechnique pour ces trois fonctions :
SO CA TO
H H A
Sinus = Opposé sur Hypoténuse
Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse
Tangente = Opposé sur Adjacent
Signes des fonctions trigonométriques
Quadrant 1er 2ème 3ème 4ème
Fonction
+ +
sinus
cosinus
+
-
-
+
tangente
+
-
+
-
cotangente +
-
+
-
sécante
cosécante
+
+
+
-
+
-
Périodicité des fonctions trigonométriques
sin( + 2k ) = sin
cos( + 2k ) = cos
tan( + k ) = tan
cotan( + k ) = cotan
sec( + 2k ) = sec
cosec( + 2k ) = cosec
période 2 (360°)
période 2 (360°)
période (180°)
période (180°)
période 2 (360°)
période 2 (360°)
k entier positif (..., -1, 0, 1, 2, ...)
Graphiques des fonctions trigonométriques
y = sin x et y = cos x
y = tan x et y = cotan x
y = sec x et y = cosec x
Variations des fonctions trigonométriques
-1
-1
-
sin 1
cos 1
tan +
cotan +
Zéros des fonctions trigonométriques
sin = 0 si
cos = 0 si
tan = 0 si
cotan = 0 si
= k (180°k)
= /2 + k (90° + 180°k)
= k (180°k)
= /2 + k (90° + 180°k)
k = ..., -1, 0, 1, 2, ...
Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques
sin2 + cos2 = 1
sec2 - tan2 = 1
cosec2 - cotan2 = 1
cos
0
sin
0
cos
0
sin
0
Expressions des fonctions trigonométriques par rapport à une seule
Grâce aux relations du chapitre précédent on obtient :
sin =
cos =
tan =
cotan =
Etant donné
sin
sin
cos
cos
tan
tan
cotan
cotan
Valeurs des fonctions trigonométriques pour quelques angles remarquables
Angle
Radians Degrés
sin
cos
tan
0
1
0
0
0
/10
18
/6
30
/4
45
/2
/3
60
/2
2 /5
72
/2
90
1
0
180
0
-1
3 /2
270
-1
0
2
360
0
1
0.5
/2
/2
cotan
1
/3
1
0.5
sec
2
/3
1
/3
2
+1
±
0
0
±
0
±
-1
0
1
NB : quelques valeurs ( ) de tan, cotan et sec sont données comme valeurs limites : le
premier signe vaut pour les angles croissants (0 2 ), tandis que le deuxième signe vaut
pour les angles décroissants (2
0).
Angles associés
sin (- ) = -sin
cos (- ) = cos
tan (- ) = -tan
cotan (- ) = -cotan
sin (2k - ) = -sin
cos (2k - ) = cos
tan (2k - ) = -tan
cotan (2k - ) = -cotan
(k = ..., -1, 0, 1, 2, ...)
sin ( cos ( tan ( cotan (
sin ( + ) = -sin
cos ( + ) = -cos
tan ( + ) = tan
cotan ( + ) = cotan
) = sin
) = -cos
) = -tan
- ) = -cotan
sin ( /2 - ) = cos
cos ( /2 - ) = sin
tan ( /2 - ) = cotan
cotan ( /2 - ) = tan
sin ( /2 + ) = cos
cos ( /2 + ) = -sin
tan ( /2 + ) = -cotan
cotan ( /2 + ) = -tan
Réduction au premier quadrant
Pour < /2 nous avons les relations suivantes :
Angle
±
Fonction
± sin
sin
/2 ±
±
3 /2 ±
2 ±
+ cos
sin
-cos
± sin
cos
+ cos
sin
-cos
± sin
+ cos
tan
± tan
cotan
± tan
cotan
± tan
± cotan
tan
± cotan
tan
± cotan
+ sec
cosec
-sec
± cosec
+ sec
± cosec
+ sec
cosec
-sec
± cosec
cotan
sec
cosec
Formules d’addition et de soustraction
sin ( ± ) = sin · cos ± sin · cos
cos ( ± ) = cos · cos
sin · sin
Formules de duplication
sin 2 = 2·sin · cos
cos 2 = cos2 - sin2 = 1 - 2sin2 = 2cos2 - 1
Formules de triplement
sin 3 = 3·sin - 4sin3
cos 3 = 4cos3 - 3cos
Formules de bissection
Formules de transformation de somme ou différence en produit de fonctions
sin + sin = 2· sin
· cos
sin - sin = 2· cos
· sin
cos + cos = 2· cos
· cos
cos - cos = -2· sin
· sin
Formules de Werner
sin · sin = ½ [cos ( - ) - cos ( + )]
sin · cos = ½ [sin ( + ) + sin ( - )]
cos · cos = ½ [cos ( + ) + cos ( - )]
Sin
et Cos
comme fonctions rationnelles de Tan /2
quand (1 + 2k)·
(k = ..., -1, 0, 1, 2, ...)
Puissances des fonctions trigonométriques
sin2 = ½ (1 - cos 2 )
cos2 = ½ (1 + cos 2 )
sin3 = ¼ (3sin - sin 3 )
cos3 = ¼ (3cos + cos 3 )
sin4 = 1/8 (cos 4 - 4cos 2 + 3)
cos4 = 1/8 (cos 4 + 4cos 2 + 3)
sin5 = 1/16 (10sin - 5sin 3 + sin 5 )
cos5 = 1/16 (10cos + 5cos 3 + cos 5 )
sin6 = 1/32 (10 - 15cos 2 + 6cos 4 - cos 6 )
cos6 = 1/32 (10 + 15cos 2 + 6cos 4 + cos 6 )
Solution des triangles rectangles
= /2
+ = /2
Cotés :
a = c· sin = c· cos
b = c· sin = c· cos
a = b· tan = b· cotan
b = a· tan = a· cotan
Hypoténuse :
c = a / sin = a / cos
= b / sin = b / cos
Solution des triangles quelconques
+ + =
1. Théorème des sinus
a / sin = b / sin = c / sin = 2R
où R est le rayon de la circonférence circonscrite au triangle.
2. Théorème de Carnot
a2 = b2 + c2 - 2bc· cos
b2 = a2 + c2 - 2ac· cos
c2 = a2 + b2 - 2ab· cos
3. Théorème de Neper
4. Théorème des projections
a = b· cos + c· cos
b = c· cos + a· cos
c = a· cos + b· cos
Formules de Briggs
+ + =
Dans un triangle quelconque nous avons les relations suivantes :
avec
(demi périmètre)
Aire des triangles
avec
(demi périmètre)
r
R
(rayon de la circonférence inscrite)
(rayon de la circonférence circonscrite)
A = ½ ab· sin = ½ ab· sin = ½ ab· sin
(Formule de Heron)
A = r· p
A = 2R2· sin · sin · sin
A = r2· cotan /2· cotan /2· cotan /2
A = p2· tan /2· tan /2· tan /2
Rayons des circonférences inscrites et circonscrites
avec
demi périmètre
A:
R:
r:
aire du triangle de côtés a, b, c et d’angles , ,
rayon de la circonférence circonscrite
rayon de la circonférence inscrite
r=A/p
r = (p - a)tan ( / 2) = (p - b)tan ( /2) = (p - c)tan ( /2)
Périmètres et aires de polygônes réguliers inscrits et circonscrits à une circonférence
P = 2· n· R· sin ( / n)
A = ½· n· R2· sin ( / n)
n : nombre de côtés du polygône régulier
R : rayon de la circonférence circonscrite
P = 2· n· r· tan ( / n)
A = n· r2· tan ( / n)
n : nombre de côtés du polygône régulier
R : rayon de la circonférence inscrite
Fonctions trigonométriques inverses
1. Arcsinus
la fonction inverse de y = sin x est :
x = arcsin y
où x représente l’arc (l’angle) dont le sinus est égal à y.
Cette fonction est définie pour :
- /2 x
/2
Exemple : arcsin 0.5 = / 6 (30°) car l’angle (compris entre - / 2 et / 2) dont le sinus est
égal à 0.5 est / 6.
On définit de la même façon les fonctions suivantes :
2. Arccosinus
la fonction inverse de y = cos x est :
x = arccos y 0 x
3. Arctangente
la fonction inverse de y = tan x est :
x = arctan y - / 2 < x < / 2
4. Arccotangente
la fonction inverse de y = cotan x est :
x = arccotan y 0 < x <
Relations entre fonctions trigonométriques inverses du même sujet
si y > 0
Somme de fonctions trigonométriques inverses
arcsin y + arccos y = / 2
arctan y + arccotan y = / 2
Fonctions trigonométriques de sujet négatif
arcsin -y = - arcsin yarccos -y = - arccos y +
arctan -y = -arctan y
arccotan -y = -arccotan y +
Graphiques des fonctions trigonométriques inverses
Arcsinus
Arccosinus
Arctangente
Arccotangente