LCMA5.12 Alg`ebre Printemps 2010 Feuille d`exercices n˚5

LCMA5.12 Algèbre
Printemps 2010
Feuille d’exercices n˚ 5 : Groupes commutatifs
5.1 Pour tout entier n ∈ N∗ , on définit ϕ(n) comme l’ordre du groupe multiplicatif (Z/nZ)∗ . La
fonction ϕ est appelée indicateur d’Euler, et pour tout n ∈ N∗ , on a :
ϕ(n) = Card {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n et pgcd(k, n) = 1}.
a) Montrer que si n, m ∈ N⋆ sont premiers entre eux, alors on a (Z/nmZ)∗ ≃ (Z/nZ)∗ × (Z/mZ)∗ ;
en déduire que ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).
b) Montrer que pour tout p premier et tout α ∈ N⋆ , on a ϕ(p) = p − 1 et ϕ(pα ) = pα−1 (p − 1).
c) Calculer ϕ(n) pour n ≥ 2 en fonction des diviseurs premiers de n. Quelle est la parité de ϕ(n) ?
d) Soit G un groupe multiplicatif cyclique d’ordre n : il existe a ∈ G tel que G = hai ; on note e
l’élément neutre de G.
i) Montrer que G possède exactement ϕ(n) générateurs.
ii) Soit d un diviseur positif de n : il existe k ∈ N tel que n = dk. On pose H = {x ∈ G / xd = e}
et K = {y ∈ G | ∃x ∈ G, y = xk }. Montrer que H = K, que K est le sous-groupe de G engendré par
ak et que c’est l’unique sous-groupe d’ordre d de G.
iii) En déduire que G possède exactement ϕ(d) éléments d’ordre d.
iv) On pose Ed = {x ∈ G | ord(x) = d} : montrer que la famille des Ed lorsque d décrit l’ensemble
des diviseurs positifs de n est une partition de G.
P
e) Montrer que n = d|n ϕ(d).
5.2 Pour les groupes G suivants, calculer la décomposition de G en somme directe de composantes primaires et en somme directe de groupes cycliques primaires ; calculer le type de G puis la décomposition
G ≃ H1 × · · · × Hr où Hi est cyclique et |Hi+1 | divise |Hi | :
G = (Z/12Z) × (Z/90Z),
G = (Z/84Z) × (Z/90Z),
G = (Z/40Z) × (Z/42Z) × (Z/120Z).
5.3 Déterminer tous les groupes commutatifs d’ordre 3240 à isomorphisme près.
5.4 Parmi les groupes suivants, tous commutatifs d’ordre 180, déterminer lesquels sont isomorphes
entre eux :
(on utilisera que (Z/pZ)∗ est cyclique quand p est premier.)
a) Z/180Z, b) (Z/12Z) × (Z/15Z), c) (Z/2Z) × (Z/90Z), d) (Z/3Z)2 × (Z/20Z),
e) (Z/4Z) × (Z/45Z), f) (Z/15Z) × (Z/6Z) × (Z/2Z), g) (Z/2Z)2 × (Z/9Z) × (Z/5Z),
h) (Z/181Z)∗ , i) (Z/2Z) × (Z/9Z) × (Z/10Z), j) (Z/19Z)∗ × (Z/11Z)∗ ,
k) (Z/4Z) × (Z/3Z)2 × (Z/5Z), l) (Z/209Z)∗ .
5.5 Soient G, H, K trois groupes commutatifs finis ; montrer que si G × H ≃ G × K, alors H ≃ K.
5.6 Soit G un groupe commutatif fini tel que, pour tous sous-groupes H et K de G, on a H ⊂ K ou
K ⊂ H ; montrer que G est un p−groupe cyclique pour un certain nombre premier p.
5.7 Soit n un entier n ≥ 2 ; montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
i) tout groupe commutatif d’ordre n est cyclique ;
ii) l’entier n n’a pas de facteur carré autre que 1 ;
iii) l’entier n est produit de nombres premiers distincts deux à deux.
5.8 Montrer que dans tout groupe commutatif d’ordre 40, il y a au moins un élément d’ordre 10.
Existe-t-il un groupe commutatif d’ordre 40 pour lequel l’ordre de tout élément divise 10 ?
5.9 Soit p un nombre premier. Combien y a-t-il de sous-groupes d’ordre p dans Z/pZ ? Dans (Z/pZ)2 ?
Dans (Z/pZ)3 ? Dans Z/pr Z pour r ≥ 2 ?
5.10 a) Soit p un nombre premier et m ∈ N ; trouver le nombre de solutions de l’équation pm x = 0
r
Y
(Z/pni Z).
dans Z/pn Z où n ∈ N∗ puis dans
i=1
b) Soit G un groupe commutatif fini et soit n un diviseur de |G| ; montrer que le nombre d’éléments
x de G vérifiant nx = 0 est un multiple de n.
c) Déterminer le nombre de solutions de l’équation 9x = 0 successivement dans les groupes Z/81Z,
(Z/9Z)2 et (Z/3Z) × (Z/27Z).
5.11 On considère U = {z ∈ C / |z| = 1}, Un l’ensemble des complexes racines nièmes de l’unité (pour
[
e=
n ∈ N∗ ) et U
Un . Si G est un groupe commutatif, on notera G′ l’ensemble des homomorphismes
n∈N∗
de groupes de G dans U.
a) Montrer que U est un sous-groupe multiplicatif de C∗ , puis que pour tout n ∈ N∗ , Un est un
sous-groupe de U.
b) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , Un ≃ Z/nZ.
e est un sous-groupe de U.
c) Montrer que U
e ≃ Q/Z.
d) Montrer que U ≃ R/Z et U
e) Montrer que pour tout groupe commutatif G, G′ est un groupe pour la loi multiplicative définie
par : ∀ f, g ∈ G′ , ∀ x ∈ G (f g)(x) = f (x)g(x).
f) Montrer que si G est cyclique d’ordre m, alors G′ l’est aussi. (on pourra montrer que G′ ≃ Um )
g) Montrer que si G et H sont des groupes commutatifs, alors (G × H)′ ≃ G′ × H ′ .
h) Montrer que si G est un groupe commutatif fini, alors G ≃ G′ .