Algèbre et arithmétique 2016-2017 Université de Nice Groupes Exercice 1. Dire pour quelle(s) raison(s) les opérations ? suivantes ne munissent pas les ensembles G donnés d’une structure de groupe ? (a) G = N, ? = l’addition des nombres ; (b) G = N∗ , ? = la multiplication des nombres ; (c) G = R, ? = la multiplication des nombres ; Exercice 2. Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ? 1. ] − 1, 1[ muni de la loi définie par x ? y = x+y 1+xy ; 2. R muni de la loi de composition définie par x ∗ y = x + y − xy. Exercice 3. Soit ABC un triangle équilatéral du plan. Déterminer l’ensemble des rotations qui laissent invariant le triangle. Montrer que c’est un groupe pour la loi ◦. Exercice 4. Montrer que si H et K sont des sous-groupes de G alors H ∩ K est un sous-groupe de G. Exercice 5. Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H . Exercice 6. Soient (G, ?) et (H, 4) deux groupes. On définit sur G × H la loi ♥ par (x, y)♥(x0 , y 0 ) = (x ? x0 , y4y 0 ). Montrer que (G × H, ♥) est un groupe. Exercice 7. Si G est un groupe, on appelle centre de G et on note Z(G) l’ensemble {x ∈ G | ∀y ∈ G, xy = yx}. 1. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G. 2. Montrer que G est commutatif ssi Z(G) = G. 3. Calculer Z(S3 ). a b Exercice 8. On pose SL2 (Z) = { | a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1}. On c d considère les deux matrices 0 −1 0 1 A= , B= . 1 0 −1 −1 Démontrer que A et B sont d’ordres finis mais que AB est d’ordre infini. 1/2 Exercice 9. Soit G un groupe commutatif. Montrer que l’ensemble des éléments d’ordre fini de G forme un sous-groupe de G. Exercice 10. Soit (G, ?) un groupe. Montrer que si pour tout x ∈ G, x2 = e, alors G est abélien. Exercice 11. Soit G un groupe. Montrer que l’application x 7→ x−1 est un morphisme si et seulement si G est commutatif. Exercice 12. Déterminer tous les sous-groupes du groupe symétrique S3 . Exercice 13. Décrire tous les homomorphismes de groupes de Z dans Z. Déterminer ceux qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs. 2/2