Lois de composition interne, structure de groupe

Lois de composition interne, structure de groupe
Exercice 1 Etudier la loi de composition interne définie sur R par x ∗ y = x + y − x y.
Même question en remplaçant R par R \ {1}.
x+y
Exercice 2 Soit E =] − 1; 1 [ ; on définit pour (x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = 1+x
y.
Montrer que ∗ est une lci sur E et que (E, ∗) est un groupe abélien.
Exercice 3 Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
Exercice 4 Montrer que les éléments d’ordre fini d’un groupe commutatif (G, ·) forment un
sous-groupe. En est-il de même si le groupe n’est pas commutatif ?
Exercice 5 Soit (G, ·) un groupe.
a) Soit f un automorphisme du groupe G. Montrer que pour tout x ∈ G, x et f (x) ont même
ordre.
b) Soit x et y 2 éléments de G. Montrer que x y et y x ont même ordre.
Exercice 6 Soit (G, ·) un groupe, H1 et H2 2 sous-groupes de G. Montrer que H1 ∪ H2 est
un sous-groupe de G ssi (H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1 ).
Exercice 7 On considère la lci définie sur Z par : a ? b = a + (−1)a b. La loi ? est-elle
commutative ? Montrer que (Z, ?) est un groupe.
1
Exercice 8 Soit (G, ·) un groupe. On note C = {x ∈ G / ∀y ∈ G, x y = y x} le centre du
groupe G.
a) Montrer que C est un sous-groupe de G.
b) On note S3 l’ensemble des permutations de [ 1; 3 ]. Déterminer le centre du groupe (S3 , ◦).
Exercice 9 Soit (G, ·) un groupe et H une partie finie no vide de G stable pour la loi ·.
Montrer que H est un sous-groupe de G (si h ∈ H, étudier l’application de x ∈ H → h x).
¯
¯ C →
C
Exercice 10 Si (a, b) ∈
× C, on définit fa,b : ¯¯
.
z 7→ a z + b
On note S = {fa,b ; (a, b) ∈ C∗ × C}. Montrer que S est un sous-groupe de l’ensemble des
bijections de C dans C.
C∗
2