Quelques groupes finis Résumé On se fixe ici comme objectif d’identifier (à isomorphisme près) tous les groupes d’ordre inférieur ou égal à 10, à l’exception du cas d’ordre 8 qui sera vu ultérieurement : on distinguera 3 catégories de groupes. Cela permet de réviser pas mal de choses sur les groupes ; certains points permettent de nourrir la leçon "Exercices sur les groupes". références : [TT1 MP] [Meunier, T1,T3] NB : certains bouquins (comme celui de P.Ortiz ou le fameux tome 1 d’exos d’algèbre pour l’agreg de Francinou Gianella) abordent ces questions avec des prérequis trop poussés, l’avantage du Meunier est qu’il reste à un niveau "élémentaire". prérequis : il y a entre autres le théorème de Lagrange, le théorème de structure des groupes cycliques ou encore la formule des classes [TT1 MP, 27, 29, 39] 1 Les groupes d’ordre premier – Voici un résultat de cours à connaître [TT1 MP, 40] : Proposition Tout groupe d’ordre premier est cyclique ; il est engendré par n’importe lequel de ses éléments différent du neutre. Preuve : Notons p le cardinal premier du groupe G. On montre que tout élément a ∈ G − {e} a un ordre égal à celui de G : en effet, l’ordre de a, noté ω(a), divise l’ordre du groupe, qui est p ici, donc ω(a) = p. Ainsi, <a> est un sous-groupe de G ayant le même nombre d’élément, donc <a> = G. – On règle ainsi le cas des groupes d’ordre 2, 3, 5, 7. 2 Les groupes d’ordre p2, avec p premier – On va montrer le résultat suivant [Meunier T1, 14] : Soit p un nombre premier. Un groupe d’ordre p2 est isomorphe soit à Z/p2 Z, soit à Z/pZ × Z/pZ. – Commençons par une application classique de la théorie des actions groupes dans le cas des p-groupes (ie : des groupes de cardinal de la forme pn avec p premier et n∈ N) : le théorème de 1 Burnside [TT1 MP, 29] (c’est aussi dans [Meunier T1, 13] mais l’autre présentation est plus concise) : Exercice Montrer que le centre d’un p-groupe n’est pas trivial. indications : appliquer la formule des classes en faisant agir le groupe par automorphismes intérieurs – Voici un critère classique de commutativité [Meunier T1, 15] : Exercice Soit G un groupe de centre Z(G). Montrer que si G/Z(G) est cyclique, alors G est commutatif. indications : il suffit d’écrire – Montrons enfin le résultat annoncé [Meunier T1, 14] : Exercice Soit G un groupe d’ordre p2 avec p premier. 1. Montrer que G est nécessairement abélien. 2. Montrer que si G est cyclique, alors il est isomorphe à Z/p2 Z. 3. Supposons que G n’est pas cyclique. Montrer que G est isomorphe à Z/pZ × Z/pZ. indications : 1. utiliser le critère précédent 2. RAS 3. prendre deux éléments a et b différents du neutre tels que b ∈ / hai et montrer que l’application (x, y) ∈ hai × hbi 7−→ x.y ∈ G est un isomorphisme. – On règle ainsi le cas des groupes d’ordre 4 et 9. 3 Les groupes d’ordre 2n, avec n premier – On va montrer le résultat suivant [Meunier, T1 p 16 et T3 p 4] : Soit n un nombre premier ≥ 3. Tout groupe d’ordre 2n est isomorphe soit à Z/2nZ (commutatif), soit à Dn (non commutatif). – Rappels succints sur le groupe diédral [Meunier T3, 2] : 2 1. On considère l’espace R2 muni de sa structure affine euclidienne usuelle orientée. On note (e1 , e2 ) sa base canonique. On note r la rotation d’angle 2π n de centre O avec n≥2 et s la symétrie orthogonale d’axe (O,e1 ). On définit le groupe diédral d’indice n comme étant Dn = hr, si le sous-groupe (de GL2 (R)) engendré par r et s. n−1 On a Dn = e, r, ..., r , s, ros, ..., rn−1 os et Dn contient 2n éléments. 2. On considère (P) le polygone convexe régulier à n côtés défini par ses n sommets A0 ,...,An−1 de la manière suivante : A0 ,...,An−1 appartiennent au cercle unité de centre O et → 2kπ vérifient (e1 , OAi ) = n avec k = 0, 1, ..., n - 21. On considère G = f isométrie a f f ine de R / f (P) = P . On a G = Dn . NB : on a donc (au moins) deux approches de ce groupe : soit par les isométries stabilisant un polygones réguliers , soit comme sous-groupe engendré par un élément d’ordre n et un élément d’ordre 2. NB : on a aussi Dn = e, r, ..., rn−1 , s, sor, ..., sorn−1 en utilisant par exemple les égalités sork = rn−k os pour k=0,1,...,n-1. NB : certains bouquins notent Dn , d’autres D2n ... – Montrons le résultat annoncé [Meunier, T1 p 16, complété par T3 p 4] : Exercice Soit G un groupe d’ordre 2n avec n premier ≥ 3. 1. Montrer qu’il est impossible que G admette que des éléments d’ordre 2. 2. a. Supposons que G admet un élément d’ordre 2n. Identifier alors G. b. Supposons que G n’admet pas d’élément d’ordre 2n. Il admet donc un élément a différent du neutre d’ordre n. On note alors H = <a>. (i) Soit b un élément de G n’appartenant H. pas àn−1 Montrer que G = H∪bH = H∪Hb = e, a, ..., a , b, ab, ..., an−1 b et que b est d’ordre 2. (En fait tout élément n’appartenant pas à H est d’ordre 2.) (ii) Montrer alors que G est isomorphe à Dn . indications : 1. raisonner par l’absurde, montrer que nécessairement ce groupe est commutatif, puis montrer l’existence d’un sous-groupe d’ordre 4 pour aboutir à une contradiction 2. a. clair b. (i) vérifier qu’on a bien 2n éléments distincts (raisonner par l’absurde) ; on raisonne par l’absurde pour montrer que b est d’ordre 2 (b est dans ce cas d’ordre n) (ii) C’est plus fastidieux : on considère naturellement l’application ϕ : Dn → G qui envoie ri sur ai et ri os sur ai b pour i=0,1,...,n-1, et il s’agit de montrer que c’est un isomorphisme. * C’est clairement une bijection. * Pour montrer que c’est un morphisme, on utilisera les points suivants : -> dans Dn , on a sork = rn−k os pour k=0,1,...,n-1 -> dans G : boak = an−k ob pour k=0,1,...,n-1 (point qu’on montrera). – On règle ainsi le cas des groupes d’ordre 6 et 10. 3