Outils algébriques et numériques

2nde
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1
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Propriété 1.
En cinquième, vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l’addition :
⧫
⧫
⧫
⧫
k × (c + d) = k × c + k × d
Propriété 2.
Puis en quatrième, vous avez découvert la relation suivante :
⧫
⧫
⧫
⧫
(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd
Théorème 1.
Enfin en troisième, vous avez appris trois nouvelles relations, appelées identités remarquables :
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Cas particulier : suppression des parenthèses précédées d’un plus ou d’un moins
On peut considérer :
+(a + b) = +1 × (a + b) = a + b
+(a − b) = +1 × (a − b) = a − b
−(a + b) = −1 × (a + b) = −a − b
−(a − b) = −1 × (a − b) = −a + b
D’où :
Propriété 3.
⧫ Pour enlever les parenthèses autour d’une expression précédée d’un signe « + », on recopie telle quelle
⧫
l’expression (sans modifier les signes).
⧫
⧫ Pour enlever les parenthèses autour d’une expression précédée d’un signe « − », on recopie l’expression
⧫
en inversant tous les signes (« + » devient « − », et « − » devient « + »).
⧫
2
Développement - Factorisation
:
♠♠ Définition
On appelle expression algébrique, une expression comprenant à la fois des nombres et des inconnues.
Exemple : 2x + 5 − y et (3x − 4)(2x + 1) sont des expressions algébriques.
:
♠♠ Définition
On appelle expression numérique, une expression ne contenant que des nombres.
Roussot
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Exemple : 2 × (3 + 4) − 55 et (4 − 5) × 3 sont des expressions numériques.
Remarque : Une expression numérique est aussi une expression algébrique.
:
♠♠ Définition
On appelle somme algébrique, une expression algébrique ne contenant aucune parenthèse et écrite
♠
♠ comme sommes ou différences d’expressions algébriques.
Exemple :
2x3 + 4x − 1
4x5 − 4
2x2 − 5x + 2
sont des sommes algébriques.
:
♠♠ Définition
● Développer une expression algébrique, c’est la transformer en une somme algébrique.
♠
♠
♠
● Factoriser une expression algébrique, c’est la transformer en un produit de sommes algébriques.
Vocabulaire :
● Réduire une somme algébrique, c’est regrouper ensemble des termes de mêmes « nature », par exemple :
2x2 + ab + 4x − 5x2 + 7ab =
● Ordonner une somme algébrique qui ne comprend qu’une variable ou d’inconnue (x ou bien y, etc.), c’est
ranger les termes (après réduction) par ordre croissant ou décroissant de l’exposant de la variable (ou
inconnue), par exemple : 5x2 − 3x + 6x5 + 2 − x6 =
Développement
k × (c + d) = k × c + k × d
(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Factorisation
3
Exemples
Exemple :
1. Développer et réduire (éventuellement ordonner) chacune des expressions suivantes :
a. (1 + 3a)2
b. 5(x − y)
c. (2x − 3y)(2x + 3)
2. Factoriser chacune des expressions suivantes :
a. 10x2 + 5xy
b. x2 − 6x + 9
c. 8x2 − 121
Roussot
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4
Fractions
Remarque : On ne peut jamais avoir 0 au dénominateur.
:
♠♠ Définition
Le trait de fraction séparant le numérateur (au dessus du trait) et le dénominateur (au dessous du
♠
♠ trait) représente la division du numérateur par le dénominateur.
♠
Propriété 4.
⧫
⧫
Égalité de fractions (simplification et dénominateur commun) :
Exemple :
21
=
24
a a×k
a a÷k
=
et =
b b×k
b b÷k
6
=
5
:
♠♠ Définition
Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus se simplifier, c’est à dire qu’il n’existe pas
♠
♠ un nombre entier qui puisse diviser à la fois le numérateur et à la fois le dénominateur.
♠
♠ Je vous rappelle une propriété que vous avez vue en troisième qui est : une fraction est irréductible si et
♠
♠ seulement si le pgcd du numérateur et du dénominateur est égal à 1.
♠
Propriété 5.
⧫
⧫
Multiplications de deux fractions :
Exemple :
a c a×c
× =
b d b×d
3 6
× =
8 5
2a 5b
×
=
3
4a
Remarque : Cas particulier : a ×
b a b a×b a×b
3
= × =
=
, par exemple : × 5 =
c 1 c 1×c
c
4
Propriété 6.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
Additions et soustractions de deux fractions :
a b a+b
a b a−b
1. ayant le même dénominateur : + =
et − =
c c
c
c c
c
2. avec des dénominateurs différents : Pour additionner ou soustraire deux fractions n’ayant pas le
même dénominateur, je commence par les mettre au même dénominateur, puis on applique le 1.
Exemple :
7 13
+
=
6 6
7 3
− =
5 5
2a 6a 15
+
−
=
11 11 11
11 5
− =
3 4
2+
a a
− =
4 6
7
=
5
Propriété 7.
⧫
⧫
Inverse d’une fraction : l’inverse de la fraction
Exemple : L’inverse de
a
b
(avec a ≠ 0 et b ≠ 0) est la fraction . .
b
a
3
est
11
Remarque : Cas particulier : l’inverse de a (a ≠ 0) est la fraction
1
, par exemple, l’inverse de 5 est
a
Propriété 8.
⧫
Diviser par une fraction : revient à multiplier par l’inverse de cette fraction.
Exemple :
Roussot
7
8
5
3
3
5÷ =
4
3
=
3a
÷ (6a) =
5
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Remarque : Toutes les propriétés ci-dessus sur les fractions s’appliquent aussi avec des écritures fractionnaires (c’est à dire quand numérateur ou dénominateur ne sont pas forcément des entiers).
5
Puissances
:
♠♠ Définition
Soit a un nombre quelconque.
♠
♠ Pour tout entier n ≥ 2, on a : an = a × a × ⋅ ⋅ ⋅ × a ; n s’appelle l’exposant de an .
♠
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
♠
♠
n facteurs
♠ Par convention :
♠
♠
♠
● a1 = a et a0 = 1
♠
♠
1
♠
● pour n entier naturel et a ≠ 0, a−n = n
♠
♠
a
Exemple :
1. 53 =
4. 530 =
2. a4 =
5. 6−2 =
3. 171 =
6. 2−1 =
Propriété 9.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
1. Pour n et p des entiers et a un nombre non nul :
an
a. an × ap = an+p
b. p = an−p
a
p
c. (an ) = an×p
2. Pour a et b des nombres non nuls et n un entier :
n
a n an
a. (a × b) = an × bn
b. ( ) = n
b
b
Exemple :
1. 4210 × 4214 =
2.
6. 26 × 56 =
895
=
892
3
7. (3x) =
b 4
8. ( ) =
5
a2
3. (a ≠ 0) 5 =
a
1 3
9. ( ) =
7
4
4. (5613 ) =
−2
5. (x3 )
=
Propriété 10.
⧫
Écriture scientifique : Soit x un nombre décimal non nul.
⧫ Alors il existe un nombre décimal a compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu) (1 ≤ a < 10) et un entier relatif
⧫
⧫ n tels que x = ±a × 10n .
Exemple :
● −4567, 89 =
● 54, 6926 × 10−8 =
● 0, 02345 =
Roussot
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6
Racines carrées
:
♠♠ Définition
√
Pour un nombre a positif, on appelle racine carrée de a et on note a l’unique nombre positif dont
♠
♠ le carré est égal à a.
♠
√
81 =
Exemple :
Propriété 11.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
● Pour a ≥ 0,
√
1. a ≥ 0
√
Remarque : Pour a < 0,
3.
● Pour a ≥ 0 et b > 0,
√
√
a
a
5.
= √
b
b
Exemple :
√
36 =
√
6
18 =
3.
√
√
4
=
9
2.
a2 = a
a2 = −a
● Pour a ≥ 0 et b ≥ 0,
√
√
√
4. ab = a × b
1.
√
√ 2
2. ( a) = a
16
=
27
4.
Racines carrées
:
♠♠ Définition
√
Pour un nombre a positif, on appelle racine carrée de a et on note a l’unique nombre positif dont
♠
♠ le carré est égal à a.
♠
√
Exemple :
81 =
Propriété 11.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
● Pour a ≥ 0,
√
1. a ≥ 0
√
Remarque : Pour a < 0,
● Pour a ≥ 0 et b ≥ 0,
√
√
√
4. ab = a × b
Exemple :
√
1. 36 =
√
√ 2
2. ( a) = a
3.
a2 = −a
● Pour a ≥ 0 et b > 0,
√
√
a
a
5.
= √
b
b
√
3.
√
2.
18 =
√
4
=
9
4.
16
=
27
a2 = a