cours5 les courbes p..

Mathématiques et infographie – M. Bianchini
Chap 5 Les courbes paramétrées
1) Définition
On définit une courbe paramétrée C de IR² par
C = {(x, y), x = f(t), y = g(t), t appartient I}
Rq : I intervalle de paramétrage
f, g : I  IR des fonctions
M(t) appartient C si M(t) : (f(t), g(t)) coordonnées
On a
OM (t) = f(t)i + g(t)j dans (o, i, j)
Une représentation paramétrique de C est
C : {x = f(t), y = g(t), t appartient I}
Exemple 1 : segment
Soient A(xa, ya) et B(xb, yb) deux points dans IR²
Si I varie de 0 à 1 M(t) appartient [AB]
Donc le segment [AB] est décrit par les points M(t), AM (t) = t AB avec t[0, 1]
On a
M(t) – A = t(B – A), t appartient [0, 1]
M(t) = A + t(B - A)
M(t) = (1 - t)A + tB
Une représentation paramétrique de [AB] est
[AB] = {
x = (1 – t)xa + txb
y = (1 – t)ya + tyb
t appartient [0, 1]
}
Exemple 2 : cercle
Soit un cercle de rayon R centré à l’origine
Soit M(𝜎) un point du cercle
I : 0-----2𝜋
Dans la représentation paramétrique de C est
C:(
x = Rcos 𝜎
y = Rsin 𝜎
𝜎 = [0, 2 𝜋]
Mathématiques et infographie – M. Bianchini
)
2) Dérivation
Soit C = {(x, y), x = f(t), y = g(t), t appartient I}
M(t) appartient C
On a OM (t) = f(t) i + g(t) j
Si f et g sont dérivables sur I, on définit
OM (t)’ = f’(t)i + g’(t)j
= v(t) représente le vecteur vitesse à l’instant t appartient I
Représente aussi le vecteur directeur de la tangente à C
||v(t)|| est valeur de la vitesse
On a
v(t) = (f’(t), g’(t))
De même on définit le vecteur accélération (si f et g sont 2x dérivables sur I) par
OM(t)’’ = f’’(t)i + g’’(t)j
a(t) représente le vecteur accélération à l’instant t appartient I
||a(t)|| est valeur de l’accélération
Ex :
C:{
x = Rcos 𝜎 = f(𝜎)
y = Rsin 𝜎 = g(𝜎)
𝜎 appartient [0, 2𝜋]
}
Calcul du vecteur vitesse
Pour t = 0, 𝜋/4, 𝜋/2, 3𝜋/2
v(t) = -Rsin 𝜎 i + Rcos
||v(t)|| = racine((Rsin 𝜎)² + (Rcos 𝜎)²)




v0 = Rj
v 𝜋/4 = Rj
v 𝜋/2 = Ri
v 3𝜋/2 = Ri
v0(0, R)
v 𝜋/4(-Rracine(2)/2, Rracine(2)/2)
v 𝜋/2(-R, 0)
v 3𝜋/2(R, 0)
rq : voir équation horaire, cinématique le calcul de trajectoire avec contrainte (gravité)
Mathématiques et infographie – M. Bianchini
3) Périodicité
Soit c’est la courbe paramétrée
C = {(x, y), x = f(t), y = g(t), t appartient I}
M(t) appartient C
C définit une fonction périodique de période T si :
M(t) = M(t + T) avec t + T appartient I
A savoir
f(t) = f(t + T)
g(t) = g(t + T)
ex : le cercle C de centre O et de rayon R défini une fonction 2pi périodique.
4) Symétrie
f paire : symétrie par rapport à l’axe 0y (pour IR)
f impaire : symétrie par rapport à l’axe 0x (pour IR)
paire : f(-t) = f(t)
impaire : f(-t) = -f(t)
Soit C = …
I : [-T/2, T/2]
Si f et g sont paires f(t) et g(t) (symétrie par rapport à l’axe 0y)
Intervalle d’étude I : [0, T/2]
Si f paire, g impaire
f(-t) = f(t)
g(-t) = -g(t)
Si f impaire, g paire
f(-t) = -f(t)
g(-t) = g(t)
Si f, g impaires (symétrie par rapport à O)
f(-t) = -f(t)
g(-t) = -g(t)
Mathématiques et infographie – M. Bianchini
4) Exemple d’application
Ex 1
Soit C de représentation paramétrique
C{
x = cos 𝜎
y = 2sin 𝜎
𝜎 appartient IR
}
a. Etudier la périodicité et les symétries éventuelles
cos et sin sont 2pi périodiques donc C 2pi périodique
f(-𝜎) = cos(−𝜎) = cos(𝜎) = f(𝜎)
g(𝜎) = 2sin(-𝜎) = -2sin(𝜎) = -g(𝜎)
symétrie par rapport à 0x
b. Dérivation + détermination des valeurs tangentes horizontales, verticales
- horizon
f'(𝜎) = -sin(𝜎)
f’(𝜎) = 2cos(𝜎)
g’(𝜎) = 0  2cos(𝜎) = 0
 cos(𝜎) = 0
 𝜎 = pi/2
Pour 𝜎 = pi/2
V(t)(-1, 0)
Pour 𝜎 = 3pi/2
V(t)(1, 0)
- vertical
f’(𝜎) = 0  sin 𝜎 = 0  𝜎 = 0
pour 𝜎 = 0, v0(0, 2)
pour 𝜎 = M, vM(0, -2)
c. Tableau de variation
d. Tracé
Mathématiques et infographie – M. Bianchini
Ex 2
Même exo avec
C:
{
x = cos(𝜎)
y = sin(2𝜎)
t appartient IR
}
a. Etudier la périodicité et les symétries éventuelles
cos 2pi périodiques
sin pi périodiques
f(-𝜎) = cos(−𝜎) = cos(𝜎) = f(𝜎)
g(−𝜎) = sin(-2𝜎) = -sin(2𝜎) = -g(𝜎)
intervalle d’étude [0, pi]
symétrie par rapport à (0x)
b. Dérivation + détermination des valeurs tangentes horizontales, verticales
f'(𝜎) = -sin(𝜎)
g’(𝜎) = 2cos(2𝜎)
Horizontal
g’(𝜎) = 0
2cos(2𝜎) = 0
cos(2𝜎) = 0
𝜎 = pi/4
Vertical
f'(𝜎) = 0
-sin(𝜎) = 0
𝜎=0
c. Tableau de derivation