si "un nombre" -"de l" -"sur un" -étapes -possible

NOTION DE FONCTION
NOTATIONS ET VOCABULAIRE
I)
𝑓 est appelée une fonction. C’est un programme de calculs (un processus) qui, à un nombre donné, fait
correspondre un autre nombre.
𝑓
x

nombre de départ
𝑓(𝓍)
nombre correspondant
On dit que :
- l’image de 𝑥 par la fonction 𝑓 est 𝑓(𝓍).
- 𝑥 est un antécédent de 𝑓(𝓍) par 𝑓.
𝑓: 𝑥
 𝑓(𝓍)
Antécédent de
𝑓(𝓍)
Image de 𝓍
𝑝𝑎𝑟 𝑓
L’expression de 𝑓(𝓍) dépend de la valeur de 𝑥 et varie en fonction de 𝑥. 𝑥 est aussi appelée la variable.
Remarque : 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑡 « 𝑓 𝑑𝑒 𝑥 ».
EXEMPLE
Considérons la fonction
On note ainsi :
𝑓: 𝑥 ⟼ 5𝑥 − 𝓍 2
𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 𝓍2 (c’est un nombre, l’image de 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑓)
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑠 𝑑𝑒 2,5 𝑒𝑡 1 𝑝𝑎𝑟 𝑓 ?
𝑓 (2,5) = 5 × 2,5 − 2,52 = 12,5 − 6,25 = 6,25
𝑒𝑡
𝑓(1) = 5 × 1 − 12 = 5 − 1 = 4
REMARQUES
-
Un nombre possède une unique image.
-
Cependant, un nombre peut posséder plusieurs antécédents.
Par exemple : les antécédents de 5,25 sont 1,5 et 3,5 : car 𝑓(1,5) = 𝑓(3,5) = 5,25
POINT METHODE : Pour trouver les antécédents de 5,25 par 𝑓 , il suffit de résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 5,25
1
METHODE
Soit la fonction f définie par 𝑓 (𝑥) = √𝑥
1) Compléter le tableau de valeurs :
x
√𝑥
4
10,24
16
20,25
2) Compléter alors :
a) L’image de 4 par f est …
b) Un antécédent de 4 par f est …
c) f : …  3,2
d) f(20,25) = …
3) Calculer f(4,41) et f(1 310,44)
II)
REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION
Pour représenter graphiquement une fonction, on construit un tableau de valeurs :
Puis on utilise un repère : on trouve en abscisse l’antécédent 𝑥 et en ordonnée son image 𝑓(𝑥)
Reprenons la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 5𝑥 − 𝓍 2 du paragraphe I).
x
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
𝒇(𝔁)
4
5,25
6
6,25
6
5,25
4
2,25
𝑓(x)
En reliant les points, on obtient une
courbe 𝐶𝑓 .
Tout point de la courbe 𝐶𝑓 possède
donc des coordonnées de la forme
(𝑥; 𝑓(𝑥))
(4 ; 𝑓(4))
𝐶𝑓
exemple
Ou alors :
(𝒂𝒏𝒕é𝒄é𝒅𝒆𝒏𝒕 ; 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆)
x
2
III) FONCTION LINEAIRE
1) PROPORTIONNALITE
EXEMPLE : Voici un tableau de proportionnalité concernant la réalisation d’une maquette de bateau :
Dimensions mesurées sur
le bateau (en cm)
140
220
250
320
Dimensions mesurées sur
la maquette (en cm)
7
11
12,5
16
× ………
Le coefficient de proportionnalité est ……….
Les deux grandeurs (dimensions réelles, et sur la maquette) sont proportionnelles.
Si 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 sont les valeurs de deux grandeurs proportionnelles, alors il existe un nombre 𝑎 tel que
𝑦 = 𝑎𝑥.
(EST LE COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITE).
2) FONCTION LINEAIRE
DEFINITION
Soit 𝒂 un nombre donné.
Le « PROCEDE » qui à tout nombre 𝒙 fait correspondre le produit 𝒂𝒙 s’appelle la FONCTION
LINEAIRE DE COEFFICIENT 𝒂.
On note cette fonction 𝒙 ⟼ 𝒂𝒙 (à 𝒙 on « ASSOCIE » 𝒂𝒙). 𝒂𝒙 est appelé IMAGE de 𝒙.
EXEMPLE
Soit la fonction linéaire 𝑓 ∶ 𝑥  − 3 𝑥
𝑓 (2) = − 3  2 = − 6
• Calculons l’image de 2 par la fonction 𝑓 :
ou
2 ⟼ −6
L’image de 2 par la fonction 𝒇 est −𝟔
• Calculer
𝑓 (4) = − 3  4 = − 12
:
𝑓(4) 𝑒𝑡 𝑓(−3)
𝑓 (− 3) = − 3  (− 3 ) = 9
 4 a pour image − 12 par la fonction 𝒇
et
− 12 est l’image de 4 par la fonction.
• Déterminer l’antécédent de 4 par la fonction 𝑓 : on doit résoudre une équation afin de
déterminer l’antécédent
4
3
𝟒
Un antécédent de 4 par la fonction 𝒇 est − .
𝟑
𝑓(𝑥) = 4
→
−3𝑥 = 4
3
→𝑥=−
REMARQUE
On peut regrouper ces résultats dans un tableau :
C’est un TABLEAU DE PROPORTIONNALITE.
𝒙
2
−3
4
𝒇 (𝒙)
−6
9
− 12
Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer 𝑓(𝑥) en fonction de 𝑥 est… …………… !!!!!!
𝑓(𝑥) = − 3  𝑥.
D’où l’égalité :
3) REPRESENTATION GRAPHIQUE
DEFINITION
SOIT 𝒇 LA FONCTION LINEAIRE DEFINIE PAR :
𝒙 ⟼ 𝒂𝒙
L’ENSEMBLE DES POINTS DE COORDONNEES (𝒙 ; 𝒂𝒙) EST APPELE REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA
FONCTION LINEAIRE.
Dans un repère, cette représentation est LA droite passant par :
- L’origine du repère
- Le point de coordonnées (𝟏 ; 𝒂) ou (𝒙 ; 𝒇(𝒙))
•
On dit que cette droite a pour équation : 𝑦 = 𝑎𝑥.
« 𝑎 » est le COEFFICIENT DIRECTEUR de la droite. Il indique « L’INCLINAISON » de la droite.
𝑎
1
1
1
1
𝑎
1
1
1
𝑎
1
𝑎
𝑎 « petit et positif »
𝑎 « grand et positif »
𝑎 « petit et négatif »
𝑎 « grand et négatif »
REMARQUE
• Si 𝒂 = 0, la représentation la DROITE SE CONFOND AVEC L’AXE DES ABSCISSES.
• Pour déterminer le coefficient directeur d’une droite, donc le coefficient d’une fonction linéaire
associée, connaissant le tracé de la droite, il suffit de connaitre les coordonnées d’un point se
situant sur la droite, et on calcule le coefficient ainsi :
𝒂=
𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆
𝒂𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕
4
4) APPLICATION AUX POURCENTAGES (Exemples) :
Prendre 5% de 𝒙.
Augmenter 𝒙 de 5%.
Diminuer 𝑥 de 5%.
Multiplier par 0,05
Multiplier par 1,05
Multiplier par 0,95
f : x  0,05 x
g : x  1,05 x
h : x  0,95 x
Prendre 5% de 20 :
𝑓 ( 20 ) = 0,05  20 = 1
Augmenter 20 de 5% :
g ( 20 ) = 1,05  20 = 21
Diminuer 20 de 5% :
h ( 20 ) = 0,95  20 = 19
CALCUL A
EFFECTUER
FONCTION
LINEAIRE
EXEMPLE :
IV) FONCTION AFFINE
1) Définition
DEFINITION
Une fonction affine est une fonction définie par
𝒇(𝒙)= 𝒂𝒙+𝒃
(où a et b sont des nombres réels)
EXEMPLES :
𝑓 ( 𝑥 ) = 2𝑥 + 1
ℎ(𝑥)=
(ici a = 2 et b = 1)
1
1
𝑥 – 7 (𝑖𝑐𝑖 𝑎 = 𝑒𝑡 𝑏 = −7)
2
2
(ici a = − 3 et b = 7)
𝑔 ( 𝑥 ) = −3𝑥 + 7
;
;
𝑖 ( 𝑥 ) = 𝑥 √2 + 3 (𝑖𝑐𝑖 𝑎 = √2 𝑒𝑡 𝑏 = 3)
REMARQUE :
• Si 𝒃 = 𝟎
alors la fonction affine est une fonction linéaire
:
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙.
UNE FONCTION LINEAIRE EST UNE FONCTION AFFINE PARTICULIERE.
• Si 𝒂 = 𝟎
alors la fonction affine est appelée fonction constante
:
𝒇(𝒙) = 𝒃.
2) Représentation graphique

THEOREME : La courbe représentative notéeC f d’une fonction affine f est une droite.
CONSEQUENCE :
Deux valeurs de f suffisent pour tracer sa courbe représentative mais dans la pratique, on en choisit
trois (en cas d’erreur).

DEFINITION : a est appelé COEFFICIENT DIRECTEUR de la droite et b son ORDONNEE A L’ORIGINE.
5

PROPRIETE :
L’ordonnée à l’origine b de la droite D f correspond à l’ordonnée du point d’intersection de la
droite D f avec l’axe des ordonnées (𝑶𝒚). Le point B(0 ;b) appartient donc à la droite D f .
EXEMPLES
1. La représentation graphique de la fonction
affine 𝑓 : 𝑥 ⟼ 𝑥 + 1 est la droite D1 d’équation
𝑦 = 𝑥 + 1.
𝑓(1) = 2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐷1 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴(1 ; 2)
𝑓(3) = 4 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐷1 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐵(3 ; 4)
Le coefficient directeur de la droite 𝐷1 est a = 1 et
son ordonnée à l’origine est 𝒃 = 𝟏 (ordonnée du
point d’intersection de 𝐷1 avec l’axe (𝑂𝑦))
On lit sur la représentation graphique que :
-
l’image de 1 par f est 2
et que l’antécédent de 4 par f est 3.
2. La représentation graphique de la fonction
affine 𝑔 : 𝑥 ⟼ −2 est la droite D2 d’équation
𝑦 = −2. Cette droite coupe l’axe des ordonnées
(𝑂𝑦) en un point de coordonnées (0 ; −2)
puisque son ordonnée à l’origine est 𝑏 = −2.
3) Déterminer une Fonction Affine : Exemple
Déterminer l’expression de la fonction affine f définie
par : 𝒇(𝟎) = 𝟒 et l’image de 3 par 𝒇 est 0.
Résolution :
𝑓 est affine donc il existe deux nombres a et b tels que
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏.
𝑓(0) = 4 donc : 𝑓(0) = 𝑎  0 + 𝑏 = 4
L’image de 3 par 𝑓 est 0 donc :
𝑓(3 ) = 𝑎  3 + 𝑏 = 0
4
𝑑’𝑜ù
𝑎=−
3
4
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑓𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 :
𝑓(𝑥) = − 𝑥 + 4
3
4
Remarque : a = – est le coefficient directeur de la droite et
𝑂𝑛 𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑏 = 4 𝑒𝑡 3 𝑎 + 𝑏 = 0
3
b = 4 son ordonnée à l’origine, c'est-à-dire que la droite
coupe l’axe (𝑂𝑦) en un point d’ordonnée 4 (et de
coordonnées (0 ; 4))
6
Dans un cas général, on va devoir résoudre un SYSTEME D’EQUATIONS…
Attendre la fin de ce chapitre…
4) Proportionnalité des Accroissements
THEOREME
Soit 𝒇 une fonction affine définie par 𝒇 ( 𝒙 ) = 𝒂 𝒙 + 𝒃. Alors si 𝒙𝟏 𝒆𝒕 𝒙𝟐 sont deux nombres
quelconques on a l’égalité des accroissements suivants : a =
𝒇 ( 𝒙𝟏 )– 𝒇 ( 𝒙𝟐 )
𝒙𝟏 −𝒙𝟐
= Error! = Error!
INTERPRETATION GRAPHIQUE
a=
−𝟐
𝟑
Error!
=−
5) SENS DE VARIATION
b
1
b
1
a
1
a
1
1
1
a
1
1
a
b
b
a positif
b positif
a positif
b négatif
a négatif
b positif
7
a négatif
b négatif