Fiche Mémo TRIGONOMETRIE Savoir convertir des

Fiche Mémo
TRIGONOMETRIE
1. Savoir convertir des angles de degrés en radians et réciproquement
Les angles se mesurent en radians ou en
degrés.
Un tour complet fait 2 radians ou 360°.
Un angle droit est un quart de tour il vaut 2
rd ou 90°
Enoncé :
Convertir 4rd en degrés puis convertir 100° en
radians.
On a 2 rd = 360° soit 1rd= 180/ ° donc 4rd=
720/

On a 1°=2 /360 rd donc 100°=200 / 360rd
rd
2. Connaître les lignes trigonométriques usuelles
Les deux fonctions trigonométriques essentielles sont le sinus et le cosinus ; elles
sont définies sur R et périodiques de période 2 .
Soit x un réel compris entre 0 et 2 et A le point du cercle de centre O et de rayon
1 tel que l’angle (OJ, OA) mesure x en radians, alors, cos x est l’abscisse de A et
sin x son ordonnée.
cos x= cos(OJ,OA) = mesure algébrique de OP
sin x = sin (OJ,OA) = mesure algébrique de OQ
Q
A
O
P J
La fonction tangente est le quotient de sin par cos c’est donc une fonction définie
lorsque le cosinus est non nul c'est-à-dire sur
On a :
.
(C’est le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OPA.)
Enoncé : reproduire et compléter le tableau suivant :
Mesure en rd
Mesure en °
cos
sin
tan
0

30°


60°
Mesure
en rd
Mesure
en °
cos
sin
tan
0




0°
30°
45°
60°
90°
1
0
0
/2
1/2
1/2
0
1
Non def.
1/
/2
/2
1
/2
Lignes trigonométriques d’angles associés
On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.
Enoncé : reproduire et compléter le tableau suivant

Mesure en rd
Mesure en °
sin
cos
tan
120°

150°

  
240°
Solution
Mesure en rd 
Mesure en ° 120°
cos
 
135° 150°
-1/2
-

 
180° 240° 270°
/2 -1
-1/2
 
330° 360°
0
1
sin
1/2
/2
0
-1
-1/2
0
tan
-
-1
-1/
0
non déf. -
0
Formules d’addition et de différence
Enoncé
Touver l’amplitude A (nombre réel positif) et la phase
nombreréelde sorte que :
Asin(t +
sin(t) + 2cos(t)
Solution
A sin(t + ) = A[cossint +sincost ]= 
sin(t) + 2cos(t)
On cherche donc A et tels que a
Acos
et Asin
Donc : tan =1/
donc =/6 et A2= 16 donc A=4.
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Dans le triangle ITR rectangle en I,
on a :
𝑐𝑜𝑠𝑅̂ =
𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐼𝑅
=
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
𝑅𝑇
𝑠𝑖𝑛𝑅̂ =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝐼𝑇
=
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑅𝑇
𝑡𝑎𝑛𝑅̂ =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝐼𝑇
=
𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡
𝐼𝑅
Le projeté orthogonal du segment RT sur la droite (IR) est IR.
On a 𝐼𝑅 = 𝑅𝑇𝑐𝑜𝑠𝑅̂ =̂
𝑅𝑇𝑠𝑖𝑛𝑇̂
Trigonométrie dans le triangle quelconque
Dans tout triangle, les longueurs
des côtés sont proportionnelles
aux sinus des angles opposés.
a
sin Aˆ

b
sin Bˆ

c
sin Cˆ
Cette propriété est
appelée loi des sinus.
souvent
Le projeté orthogonal du segment RT sur la droite (IR) vaut IR= RT cos
Enoncé 1.
La longueur AB mesure 130m,
l’angle en B mesure 39°.
Quelle est la longueur du projeté
orthogonal de AB sur BC ?
Enoncé 2
Déterminer les longueurs m
et n des côtés LN et LM du
triangle LMN ci-contre pour
MN = 15 cm.
N = 45° ; M = 105°.
Solution de l’exercice 1
La longueur du projeté orthogonal de AB sur BC est la longueur de BC
Or, le triangle ABC est rectangle en C, on a donc :
𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐵𝐶
𝑐𝑜𝑠𝐵̂ =
=
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
𝐵𝐴
̂ = 130*cos(39°) 101,03m
Donc BC = AB* cos B
(39°) 101,03m
Solution de l’exercice 2
Le troisième angle du triangle mesure 30° (puisque la somme des angles fait 180°)
Donc d’après la loi des sinus, on a
LM
LN
15


.
sin 45 sin 105 sin 30
Donc LM =
15
2 15
2  12.24cm et LN = 0.97
2  16.73cm
2 3
3