CHAPITRE 1 1Dans l`Antiquité, pour simplifier les probl

CHAPITRE 1
Trigonométrie ge-nctr.1 [1 - B. Ischi 06-07 ]
1. Mesure des angles ge-nctr.2
[1 - B. Ischi 16-17 ]
1
Dans l’Antiquité, pour simplifier les problèmes de partage d’angles, on a divisé la
circonférence du cercle en 360 parties égales, appelées des degrés.
Ce choix se justifiait par le fait que 360 a un grand nombre de diviseurs. En effet, 360 est
divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 et 180 (et 1 et
360).
ge-nctr.4
Ce choix n’est pas toujours pratique. Une autre façon de
mesurer un angle serait de prendre la longueur de l’arc correspondant. Toutefois, cette longueur dépend du rayon du cercle. En effet,
pour un angle α mesuré en degrés, on a
α
α
l=
2πr =
πr
360
180
ge-nctr.5 La longueur d’un arc de cercle déterminé par un angle α étant
proportionnelle au rayon du cercle, on dit que la mesure d’un angle est
de 1 radian si la longueur de l’arc correspondant est égale au rayon du
cercle. En d’autres termes, l’angle α en radians est donné par
l
α [rad] :=
r
ge-nctr.3
Il suit que la relation entre degrés et radians est donnée par
l
α [rad] = =
r
α [◦ ]
πr
180
r
et
α [◦ ] = α [rad]
Exemple 1.1.
1Cette
ge-nctr.6
= α [◦ ]
180
π
Voici quelques exemples:
180◦ = π rad ≈ 3.14 rad
90◦ =
1◦ =
1 rad =
π
180
π
180
rad ≈ 0.0175 rad
π
2
rad ≈ 1.57 rad
180 ◦
π
≈ 57.3◦
partie est extraite du livre “Notions élémentaires, CRM n◦ 27
1
45◦ =
π
4
≈ 0.785 rad
Fonctions trigonométriques
(page 2/8)
Remarque 1.2. ge-nctr.7 Remarquons que pour un angle mesuré en
radians, la longueur de l’arc de cercle est donnée par
l = αr
où α est mesuré en radians
et la surface du secteur par
α 2 1 2
S=
πr = αr
2π
2
où α est mesuré en radians
2. Fonctions trigonométriques ge-nctr.8
2.1. Définitions.
[1 - B. Ischi 05-06 ]
ge-nctr.9 [1 - B. Ischi 16-17 ]
Dorénavant, nous mesurons tous les angles en radians. Rappelons
π
pour le transformer en radians.
que si un angle est donné en degrés, il faut le multiplier par 180
Sur la figure 1, nous avons représenté un cercle et deux axes orthogonaux qui se croisent au centre
du cercle. Nous pouvons supposer que le rayon du cercle fait 1 mètre.
Pour chaque nombre positif x, on associe un point sur le cercle en parcourant le cercle dans le
sens inverse des aiguilles de la montre depuis le point (1, 0) sur une distance de x mètres. Quelques
exemples sont donnés dans le tableau 1. Si x est négatif, le point s’obtient en tournant dans le
sens des aiguilles de la montre.
ge-nctr.10 [1 - B. Ischi 05-06 ]
x
0
π
2
−π
3π
2
2π
5π
2
..
.
point sur le cercle cos(x) sin(x)
(1,0)
1
0
(0,1)
0
1
(-1,0)
-1
0
(0,-1)
0
-1
(1,0)
1
0
(0,1)
..
.
0
..
.
1
..
.
Tableau 1. Exemples de valeurs de cos(x) et sin(x)
Par définition, cos(x) est la coordonnée horizontale (mesurée en mètres pour notre exemple)
du point et sin(x) la coordonnée verticale. Les représentations graphiques du cosinus et du sinus
sont tracées sur la figure 2, page 4.
Le cosinus cos(x) est nul seulement pour x = π2 , 3π
, · · · et pour x = − π2 , − 3π
, · · · . Ainsi, pour
2
2
x différent de ces nombres, nous pouvons définir la tangente de x comme suit:
tan(x) =
sin(x)
.
cos(x)
Fonctions trigonométriques
(page 3/8)
(0,1)
(0,1)
x
(−1,0)
(−1,0)
Sin(x)
Sin(x)
x
(1,0)
Cos(x)
(1,0)
Cos(x)
x
(0,−1)
(0,−1)
(0,1)
(0,1)
(−1,0)
(−1,0)
x
Cos(x)
Cos(x)
Sin(x)
(1,0)
(1,0)
Sin(x)
(0,−1)
(0,−1)
Figure 1. Le cercle trigonométrique
De même, le sinus sin(x) est nul seulement pour x = 0, π, 2π, · · · et pour x = −π, −2π, · · · .
Ainsi, pour x différent de ces nombres, nous pouvons définir la cotangente de x:
cot(x) =
cos(x)
.
sin(x)
ge-nctr.11 Pour x entre 0 et π, la fonction cos est bijective. Sa réciproque se note arccos. Pour
x entre − π2 et π2 , la fonction sin est bijective. Sa réciproque se note arcsin. Rappelons que si une
fonction f : A → B est bijective (c’est-à-dire injective et surjective), alors la fonction réciproque
r
f : B → A est définie par (f ◦ r f )(y) = y pour tout y dans B et ( r f ◦ f )(x) = x pour tout x dans
A. Pour x entre − π2 et π2 , la fonction tan est bijective. Sa réciproque se note arctan. Pour x entre
Fonctions trigonométriques
(page 4/8)
x->Cos@xD
1
x->Sin@xD
1
0.5
Π
3 Π -Π - €€€€
-2 Π- €€€€€€€€
2
2
-0.5
0.5
Π
€€€€
2
Π
3Π
€€€€€€€€ 2 Π
2
Π
3 Π -Π - €€€€
-2 Π- €€€€€€€€
2
2
-0.5
-1
x->Tan@xD
3Π
€€€€€€€€ 2 Π
2
40
20
Π
- €€€€
2
Π
-1
x->Cot@xD
40
-Π
Π
€€€€
2
20
Π
€€€€
2
Π
-Π
Π
- €€€€
2
-20
-20
Π
€€€€
2
Π
-40
-40
Figure 2. Représentations graphiques des fonctions cos, sin, tan et cot.
0 et π, la fonction cot est bijective. Sa réciproque se note arccot. Les représentations graphiques
de fonctions arccos, arcsin, arctan et arccot se trouvent sur la figure 3.
x->ArcCos@xD
Π
x->ArcSin@xD
Π
€€€€
2
Π
€€€€
2
-1
-100
-1
-0.5
0.5
x->ArcT
an@xD
Π
€€€€
2
-50
50
-0.5
1
5
10
Π
- €€€€
2
x->ArcCot@xD
Π
€€€€
2
1
100
0.5
-10
Π
- €€€€
2
-5
Π
- €€€€
2
Figure 3. Représentations graphiques des fonctions arccos, arcsin, arctan et arccot.
2.2. Propriétés des fonctions trigonométriques.
ge-nctr.12 [1 - B. Ischi 16-17 ]
Fonctions trigonométriques
(page 5/8)
Il suit directement des définitions que les fonctions sinus et cosinus sont 2π−périodiques, c’est-à-dire:
ge-nctr.13
sin(x + 2π) = sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x) ∀ x ∈ R
Par ailleurs, la fonction tangente est π−périodique
tan(x + π) = tan(x) ∀ x ∈ R
ge-nctr.14
Il suit que
sin(x + k · 2π) = sin(x) et cos(x + k · 2π) = cos(x) ∀ x ∈ R et ∀ k ∈ Z
et que
tan(x + k · 2π) = tan(x) ∀ x ∈ R et ∀ k ∈ Z
Remarque 2.3. ge-nctr.15 De la définition des fonctions trigonométriques, il suit, en vertu
du théorème de Pythagore, que
cos(x)2 + sin(x)2 = 1
Par ailleurs, remarquons que pour un angle 0 < x < π2 , c’est-à-dire plus petit que 90◦ , la définition
du cosinus et du sinus donnée ci-dessus est équivalente à la définition du cosinus et du sinus dans
un triangle rectangle puisque dans le cercle trigonométrique, l’hypoténuse du triangle rectangle
vaut 1.
ge-nctr.16
Rappelons qu’en général
sin(α + β) 6= sin(α) + sin(β)
Par exemple,
√
√
2
2
sin(45◦ + 45◦ ) = sin(90◦ ) = 1 6=
+
= sin(45◦ ) + sin(45◦ )
2
2
Pour des angles α > 0 et β > 0 tels que α + β < 90◦ , nous avons montré en exercice (cours de
première année du Collège de Genève) que
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
à partir d’une construction relativement longue. Cette formule trigonométrique se généralise aux
fonctions trigonométriques. Nous en donnons une démonstration très élégante et rapide due à
Gauss (1777-1855).
Théorème 2.4.
ge-nctr.17
On a l’égalité
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
Démonstration. ge-nctr.18 Les distances P2 P3 et P1 P4 de la figure 4 sont les mêmes. En
vertu du théorème de Pythagore,
2
P1 P4 = (cos(α − β) − 1)2 + (sin(α − β))2 = cos(α − β)2 − 2 cos(α − β) + 1 + sin(α − β)2
= 2 − 2 cos(α − β)
Fonctions trigonométriques
(page 6/8)
Par ailleurs,
2
P2 P3 = (cos(α) − cos(β))2 + (sin(α) − sin(β))2
= cos(α)2 − 2 cos(α) cos(β) + cos(β)2 + sin(α)2 − 2 sin(α) sin(β) + sin(β)2
= 2 − 2 (cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β))
2
et l’égalité du théorème résulte directement de l’égalité P1 P4 = P2 P3
2
Figure 4. Preuve de la formule: cos(α − β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β).
Corollaire 2.5.
ge-nctr.19 [1 - B. Ischi 05-06 ]
On a également les égalités
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
sin(α − β) = sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β)
Démonstration.
précède, on trouve
ge-nctr.20 [1 - B. Ischi 16-17 ]
En remplaçant β par −β dans le théorème qui
cos(α + β) = cos(α − (−β)) = cos(α) cos(−β) + sin(α) sin(−β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
| {z }
| {z }
=cos(β)
=− sin(β)
Triangles quelconques
(page 7/8)
Par ailleurs,
sin(α + β) = cos(
π
π
π
π
− (α + β)) = cos(( − α) − β) = cos( − α) cos(β) + sin( − α) sin(β)
2
2
| 2{z }
| 2{z }
=sin(α)
=cos(α)
= sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
Finalement, en remplaçant β par −β dans cette dernière égalité, il vient
sin(α − β) = sin(α + (−β)) = sin(α) cos(−β) + cos(α) sin(−β) = sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β)
| {z }
| {z }
=cos(β)
=− sin(β)
3. Triangles quelconques ge-nctr.21
[1 - B. Ischi 06-07 ]
Théorème 3.6. (Théorème du cosinus) ge-nctr.22 Dans un triangle quelconque dont les côtés
sont notés a, b et c, on a
c2 = a2 + b2 − 2a b cos(γ)
où γ est l’angle opposé à c.
c
c
a
h
a
h
b
b
Figure 5. Démonstration du théorème du cosinus
Démonstration. ge-nctr.23 Notons b la base du triangle et h sa hauteur. Remarquons que
si γ = 90 ◦ , alors le triangle est rectangle. De plus, cos(90◦ ) = 0. Dans ce cas, nous retrouvons le
théorème de Pythagore. Si γ 6= 90 ◦ , deux cas sont possibles.
(1) L’angle γ est obtus (i.e. γ > 90 ◦ ). Dans ce cas, la base du grand triangle rectangle
ayant h comme hauteur et c comme hypoténuse est donnée par b + cos(π − γ)a = b − cos(γ)a car
cos(π − γ) = − cos(γ). De plus, h = sin(π − γ)a = sin(γ)a car sin(π − γ) = sin(γ). Ainsi, par le
théorème de Pythagore, nous trouvons
c2 = h2 + (b − cos(γ)a)2
= sin2 (γ)a2 + b2 − 2ab cos(γ) + cos2 (γ)a2
= a2 [sin2 (γ) + cos2 (γ)] + b2 − 2ab cos(γ)
= a2 + b2 − 2ab cos(γ)
(2) L’angle γ est aigu (i.e. γ < 90 ◦ ). Dans ce cas, la base du grand triangle rectangle ayant h
comme hauteur et c comme hypoténuse est donnée par b − cos(γ)a. De plus, h = sin(γ)a. Comme
ci-dessus, par le théorème de Pythagore, nous trouvons
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
Triangles quelconques
(page 8/8)