13 – Probabilités I – Loi de probabilité sur un ensemble fini 1) Définitions Définition Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l’on ne peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisées. Notation : On note l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Exemple Pour un lancé de dé à six faces , on a . Définition Définir une loi de probabilité sur E, c’est associer à chaque issue telle façon que . Ce nombre est appelé probabilité de l’issue . un nombre , positif ou nul de Remarque Exemple Si le dé de l’exemple précédent est équilibré, chacune des faces a la même probabilité d’apparaitre, donc : On présente la loi de probabilité sous forme d’un tableau : 1 2 3 4 5 6 Définition-Propriété Dans le cas où l’on associe à chacune des n issues d’une expérience aléatoire la même probabilité p, on parle de loi équirépartie. On a alors p = 1/n. 2) Modélisation d’une expérience aléatoire Modéliser une expérience aléatoire dont les issues constituent l’ensemble E, c’est un choisir une loi de probabilité sur E qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue. Exemple 1 Imaginons une étude statistique sur très grand nombre de lancés d’un dé truqué pour établir la loi de probabilité…. Exemple 2 En France, 51 % des nouveau-nés sont des garçons. Un jour donné, on choisit au hasard un nouveau-né et on note son sexe. Quelle est la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ? Sexe Probabilité Garçon Fille II – Probabilité d’un évènement 1) Notion d’évènement Définition Un évènement A est une partie (ou sous-ensemble) de l’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire. Vocabulaire-Notations On note A E. Dire que issue a de l’expérience aléatoire réalise l’évènement A signifie que a est un élément de A. On note a A. est appelé évènement impossible, aucune issue ne le réalise. E est appelé évènement certain, toutes les issues le réalisent. Exemple On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6. A : « Obtenir 7 » est l’évènement impossible. A = . B : « Obtenir un résultat inférieur ou égal à 6 » est l’évènement certain. A = E. 2) Probabilité d’un évènement Définition Une loi de probabilité étant définie sur un ensemble E, la probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. On la note p(A). Propriétés p( ) = 0. p(E) = 1. 0 p(A) 1. Exemple Voici la loi de probabilité d’un dé truqué : Face 1 2 3 4 5 6 Probabilité La probabilité de l’évènement A « Obtenir un résultats pair » est : Propriété Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un évènement A est : 3) Intersection et réunion d’évènements Définitions Soient A et B deux évènements. L’intersection de A et B est l’évènement formé des issues qui réalisent à la fois l’évènement A et l’évènement B. Il est noté A B. La réunion de A et B est l’évènement formé des issues qui réalisent l’évènement A ou l’évènement B. Il est noté A B. Exemple On tire une boule dans une urne contenant des boules numérotées de 1à 10, indiscernable au touché. Ecrire en extension les évènements : A : « Le nombre tiré est divisible par 5 » : ……………………………………………….. B : « Le nombre tiré est strictement inférieur à 5 » : ……………………………………………. A B : ……………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………… A B : …………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………. Propriété Pour tous les évènements A et B, on a : p(A B) = p(A)+p(B)-p(A B). Remarque Lorsque A B= , on dit que A et B sont incompatibles et on a alors p(A B) = 0 et p(A B) = p(A)+p(B) 4) Evènement contraire Définition L’évènement contraire de A est l’évènement formé des issues qui ne réalisent pas A. Il est noté . Propriété Pour tout évènement A, p(A)+p( ) = 1, ou encore p( ) = 1-p(A).