Ecole Supérieure Polytechnique de Dakar Année universitaire 2014-2015 Département Génie Informatique DIC 1 Informatique/Télécommunication Réalisé par : Professeur : Prospere Wenmalagda KIEMDE M. A. T. GAYE Kany MANE M. DIAKHATE Valérie OUEDRAOGO Baye Cheikh NIANG 1 EXERCICE 1 a) Soit X la variable aléatoire nombres de filles déléguées Les valeurs prises par x sont : X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} b) Sa loi de probabilité de X est : Soit l’univers X (Ω)= {(15,1), (14,2), (13,3), (12,4),(11,5),(10,6),(9,7),(8,8),(7,9),(6,10)} La probabilité pour que chaque évènement se réalise est de 1/10 alors X suit une loi uniforme discrète sur [1 10] avec une probabilité P=1/10 Ce qui nous permet d’établir le tableau suivant : X(Ω) 1 P(X=K) 1/10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 c) Traçons la courbe de masse Avec le logiciel R on a : X=Seq (1,10, 1) PX=dunif(X, min=1, max=10, log= False) Plot(X, PX, type= "L", col="red" , lwd=5) Ce qui nous permet d’obtenir la courbe de masse suivante : 2 d) Traçons la fonction de répartition A l’aide la commande suivante : plot (1:10,punif(1:10, min=1, max=10), col="red",type= "s",main = "Fonction de repartition",las = 1,ylab = "proba",xlab="Nombre de filles") Nous obtenons donc la fonction de répartition suivante : 3 e) La Probabilité d’interroger au plus 7 filles est : P(X≤7)= 1-P(X>7) P(X≤7)=1-P(X=8)-P(X=9)-P(X=10) P(X≤7)=1-3/10 P(X≤7)=7/10=0,7 Avec le logiciel R on a : X=Seq (1,10, 1) PX=dunif (1 :7, min=1, max=10, log=False) Sum(PX) 0,7777778 4 EXERCICE 2 Vérifions que la probabilité que l’étudiante réalise une vente au hasards l’ors d’un appel téléphonique est de 0,24 : Soit Y : l’évènement de vendre l’ors d’un appel B: l’évènement le répondeur diffuse le message C : l’évènement le correspondant répond A : l’évènement personne ne répond P(Y)=P(Y∩C) + P(Y∩B) + P(Y∩A) or que P(Y∩B)=P( Y∩A)=0 donc P(Y)=P (Y ∩C) P(Y∩C)=P(C)* P (Y/C)=0,4*0 ,6=0,24 P(Y∩C)=0,24 Démontrons que la probabilité que le gain algébrique du joueur soit égal à -1 F est de 0,46 On a P(X=-1) = P (B) + P (Ῡ ∩C) P (Ῡ ∩C)=P(C) –P (Y ∩C) donc P(X=-1)=P(B) +P(C) - P (Y ∩C) P(X=-1)=0,1+0,6-0,24=0,46 P(X=-1)=0,46 Déterminons la loi de probabilité de X Soit la variable aléatoire égal au gain algébrique : Les valeurs prises par X sont : X= {-1, 0, 19} La loi de probabilité de X est : X -1 0 P(X=K) 0,46 0,3 Calculons l’espérance mathématique de X E(X)=-1*0,46 +19*0,24 E(X)=4,56-0,46 E(X)=4,10 19 0,24 Soit X la variable aléatoire égale au nombre de vente réalisé l’ors des 5 appels alors On a les valeurs prises par X= {0, 1, 2, 3, 4,5} On a : X suit une loi binomiale de paramètre (5 0,24) La probabilité de réalisé exactement 3 ventes est : P(X=3)=10* (0,24)3 *(0,76)2 P(X=3)=0,07984742 Avec le logiciel R on a : dbinom (3, 5, 0.24)=0,07984742 5