Formulaire Probabilité I) Probabilités

4e Eco
Formulaire
2011 – 2012
Probabilité
I) Probabilités
Propriétés
 Lorsque les évènements élémentaires sont tous équiprobables, la probabilité d’un
card(A) nombre de cas favorables
p(A) 

évènement A est
card() nombre de cas possibles
 A et B étant deux évènements
- p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) .
- p(A  B) = p(A) + p(B) si A et B sont incompatibles.
- p( A ) = 1 – p(A)
Tirage
Ordre
Répétition
Formule
Simultané
C pn
non
non
Successivement et sans remise
oui
non
A pn
Successivement et avec remise
oui
oui
np
II) Probabilités conditionnelles.
p(A  B)
p(B)
2) Formule des probabilités totales : p(E) = p(E  A) + p(E  A) = p(E/A).p (A) + p(E/ A ).p ( A ).
3) Arbre pondérée :
A
Exemple
0,1
p(B) = 0,3 ; p( B ) = 0,7 ; p(A/B) = 0,1 ; p ( A /B) = 0,9
B
p (A/ B ) = 0,8 et p ( A / B ) = 0,2
A
0,3
0,9
On déduit de l’arbre :
A
P(AB) = 0,3 x 0,1 ; P( A B) = 0,3 x 0,9 ; P(A B ) = 0,7 x 0,8 Ω
0,8
et P( A  B ) = 0,2 x 0,7.
B
0,7
P(A) = 0,3 x 0,1 + 0,7 x 0,8 (Formule des probabilités totales)
A
0,2
3) Evènements indépendants
Deux évènements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l’évènement A ne dépend
pas de la réalisation de l’évènement B c’est à dire
p(A/B) = p(A) , p(B/A) = p(B) ou encore p(A  B) = p(A).p(B)
1) Probabilité conditionnelle de A sachant B :
p (A/B) =
III)Variables aléatoires.
Soit X une variable aléatoire définie par
x1
x2
…
xn
xi
p1
p2
…
pn
pi
n
L’espérance mathématique est E(X) =
V(X) =
i
i
= x1p1  x 2 p 2  ....  x n p n
i 1
n
La variance de X est
x p
2
i i
x p
 (x) 2 = x12 p1  x 22 p 2  ....  x 2n p n  ( x ) 2
i1
L’écart type de X est
σ(X) = V(X)
IV) Schéma de Bernoulli - Loi binomiale
 On appelle schéma de Bernoulli, une suite d’expériences identiques telles que :
- Chaque expérience ne donne lieu qu’à deux issues : l’une, notée S, appelée succès ;
l’autre E = S appelée échec
Théorème (admis)
Etant donné une loi binominale X de paramètres n et p on a :
 p(X = k) = Ckn p k (1  p) n - k avec k  0,1,2......n .
 L’espérance et la variance de X sont E(X) = np
et V(X) = np(1-p)