Seconde NOM : DEVOIR TRIMESTRIEL DE MATHEMATIQUES

Seconde
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DEVOIR TRIMESTRIEL DE MATHEMATIQUES
Mercredi 18 mai 2010
Durée 2h30
La calculatrice est autorisée
Numéroter les copies
I – Fonction
/12
II – Géométrie
/22
III – Probabilités
/16
1
I - Fonction
(12 points)
Soit la fonction f : x →x2+6x+5, définie sur [-7;1] dont la représentation graphique est donnée
ci-dessous.
Bien rédiger les réponses
1. Justifier que cette courbe peut être la représentation graphique d’une fonction.
2. Donner les images de – 4 ; 0 et 3
3. Donner les antécédents de – 4 , 12 et 15.
4. Vérifier que f(x) = (x+3)2 – 4.
5. Résoudre graphiquement, puis retrouver les résultats par le calcul :
a) f(x) = 5
b) f(x) < 0
c) f(x) = 6x+6
2
II - Géométrie (22 points)
Exercice 1 ( 9 points)
Soit ABCD un rectangle.
Le point E appartient au segment au
ଶ
segment [AB] tel que AE = AB
ଷ
et le point F appartient au segment [BC]
ଵ
tel que BF = BC.
ଷ
Le but est de montrer que les droites
(AC) et (EF) sont parallèles.
Méthode 1 : avec les configurations
Démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
Méthode 2 : solution vectorielle
ሬሬሬሬԦ =
Démontrer que EF
ଵ
ଷ
ሬሬሬሬሬԦ
AC. Que peut-on en déduire ?
Méthode 3 : solutions analytiques
AB; ሬሬሬሬሬԦ
AD), donner les coordonnées des points A, B, C, D, E et F ?
1. Dans le repère (A ; ሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ sont colinéaires conclure.
2. Démontrer que les vecteurs ሬሬሬሬሬԦ
AC et EF
3. Montrer que les droites (AC) et (EF) ont le même coefficient directeur. Conclure.
Exercice 2 (7 points)
Soit (O ; ଓԦ, ଔԦ) un repère orthonormé du plan.
Soit les points A(-4 ;-3), B(2 ;0) et C(-1 ;5).
1. Faire une figure.
2. Déterminer les coordonnées des points I et J, milieux respectifs de [AB] et [BC] et
placer les points sur la figure.
ሬሬሬሬሬԦ + GB
ሬሬሬሬሬԦ + GC
ሬሬሬሬሬԦ = ሬԦ
3. Déterminer les coordonnées du point G tel que GA
0 et placer le point G
sur la figure.
4. Les vecteurs ሬሬሬሬሬԦ
CG et ሬሬሬԦ
CI sont-ils colinéaires ?
5. Les points G, J et A sont-ils alignés ?
6. En déduire ce que représente le point G pour le triangle ABC.
Exercice 3 (6 points)
Dans un repère orthonormé (O ; ଓԦ, ଔԦ), on considère les points A(-5 ;3), B(11 ;1), C(10 ;6) et
D(2 ;-6).
1. Faire une figure.
2. Démontrer que ces 4 points sont sur le cercle de diamètre [AB].
3
III - Probabilités ( 16 points)
Exercice 1 (8 points)
Le tableau suivant présente la répartition, en pourcentages de la population en France par sexe
et âge au 01/01/2009.
Femmes
Hommes
Ensemble
Moins de 15 ans
17.5
19,5
18,5
15-24 ans
12.1
13,3
12,7
25-34 ans
12.2
12,8
12,5
35-44 ans
13.8
14,3
14
45-54 ans
13.4
13,7
13,5
55-64 ans
12.2
12,3
12,2
65-74 ans
8.2
7,5
7,9
75 ans et plus
10.6
6,6
8,7
Ensemble
100,00
100,00
100,00
(Source : Insee, estimations de population – résultats provisoires arrêtés fin 2008)
1. Comment doit être la taille de l'échantillon de population pour qu'on puisse assimiler
les fréquences aux probabilités ?
2. On désigne au hasard un individu dans la population concernée.
Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « La personne est âgée de 24 ans au plus » ;
B : « La personne est âgée de 64 ans au plus » ;
C : « La personne est âgée de 65 ans ou plus ».
3. On désigne une personne au hasard parmi les femmes.
Déterminer la probabilité de l’évènement F : « La femme est âgée de 65 ans ou plus ».
4. On désigne une personne au hasard parmi les hommes.
Déterminer la probabilité de l’évènement G : « L’homme est âgé de moins de 65 ans ».
Exercice 2 (8 points)
Benoît est perchiste dans une station de sports d’hiver. Il observe qu’un tiers des personnes font
du snowboard et les autres du ski. Les trois quarts des snowboarders ont moins de 20 ans.
Soit a la probabilité chez les skieurs d’avoir plus de 20 ans.
1). Faites un arbre pondéré représentant la situation décrite ci-dessus.
2). On sait aussi que la moitié des personnes ont plus de 20 ans.
Exprimer en fonction de a la probabilité d’être un skieur de plus de 20 ans.
3). Calculer a.
4). En déduire la probabilité que la prochaine personne qui se présente à la remontée
mécanique soit un skieur de 20 ans ou plus.
Informations supplémentaires :
Soient S l’évènement : « la personne fait du snowboard », et ܵҧ son évènement contraire.
Soient V l’évènement : « la personne a moins de 20 ans », et ܸത son évènement contraire.
4