GSP 3/7 PROBABILITES 3ième 1) Vocabulaire Lançons un dé. A l’arrêt, sa face supérieure porte l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si le dé est non truqué (on dit encore bien équilibré ou parfait), nous sommes incapables de prévoir quelle face va apparaître. Nous sommes en présence d’une expérience aléatoire. 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sont les issues de cette expérience aléatoire. Un événement est constitué d’une ou de plusieurs issuesd’une même expérience aléatoire. Par exemple, l’événement « obtenir un nombre entier strictement supérieur à 4 » est constitué des issues 5 et 6. Si A est l’évènement « Obtenir un nombre pair », alors l’événement contraire de A noté non A est : « Ne pas obtenir un nombre pair », c'est à dire « Obtenir un nombre impair » constitué des issues 1 ; 3 et 5. 2) Probabilités Définition : la probabilité p(A) d’un évènement A est la proportion des cas où A se réalise parmi tous les cas possibles. Propriétés : p(A) est comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ p(A) ≤ 1 p (A) est la somme des probabilités des issues définissant A. P ( non A ) = 1 – P ( A) Exemple : On lance un dé. Chaque face a la même probabilité d’apparaître : 1 . 6 Soit A l’événement « obtenir un nombre impair différent de 1 ». 1 1 1 P(A) = P(3) + P(5) = + = . 6 6 3 1 2 P(non A) = 1 - = = P(1) + P(2) + P(4) + p(6) 3 3 1 GSP 3/7 PROBABILITES 3ième 3) Exemple 1) Arbre des possibles Exemple : Lorsqu’on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des possibles : ble rouge jaune vert L’arbre des possibles permet de visualiser les issues d’une expérience aléatoire. 2) Arbre pondéré Exemple : 2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Lors d’une expérience aléatoire, il y a donc 2 chances sur 8 d’obtenir un secteur de couleur bleue. 2 1 On dit que la probabilité d’obtenir un secteur bleu est égale à , soit . 4 8 On inscrit sur l’arbre des possibles les probabilités des différentes issues. 1 4 bleu 1 8 3 8 1 4 rouge jaune vert Soit l’évènement E « La roue s’arrête sur un secteur bleu ou rouge ». On pourrait se demander qu’elle est la probabilité que cet évènement se réalise ? 1 1 3 P(E) = + = 4 8 8 Remarque : la somme des probabilités de toutes les branches est égale à 1 : Ici : 1 1 3 1 + + + =1 4 8 8 4 2 GSP 3/7 PROBABILITES 3ième 4) Exemple d’une expérience aléatoire à deux épreuves Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves. Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. » 1 2 P (P ; P) 1 1 1 x = (probabilité d’obtenir deux 2 2 4 piles) 1 2 P 1 2 1 2 1 2 F (P ; F) 1 1 1 x = (probabilité d’obtenir pile 2 2 4 puis face) P F (F ; P) 1 1 1 x = (probabilité d’obtenir face 2 2 4 puis pile) 1 2 F (F ; F) Sur un même chemin, on multiplie les probabilités. P(E) = 1 1 1 3 + + = 4 4 4 4 3 La probabilité que l’évènement E se réalise est de . 4 Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois la face PILE lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce de monnaie. 3