Cours de Troisi`eme / Trigonométrie

Cours de Troisième / Trigonométrie
E. Dostal
Avril 2015
Table des matières
11 Trigonométrie
11.1 Rappel : cosinus d’un angle aigu
11.2 Sinus et tangente d’un angle aigu
11.3 Utilisation de la calculatrice . . .
11.4 Relations trigonométriques . . .
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3
4
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Chapitre 11
Trigonométrie
11.1
Rappel : cosinus d’un angle aigu
Problème : on a un triangle CJB, rectangle en J. Que doit on connaı̂tre pour calculer la longueur de
l’hypoténuse CB ?
— Si on connait la longueur de 2 côtés, quel théorème peut-on utiliser ?
— Mais, si on ne connait qu’une longueur, que doit on connaı̂tre d’autres ?
— Et quelle propriété pourra-t-on utiliser dans ce cas ?
Définition 1 dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d’un angle le quotient de la longueur
du côté adjacent à cet angle, par la longueur de l’hypoténuse.
Cosinus d’un angle aigu =
Exemple :
longueur du côté adjacent à l’angle
longueur de l’hypoténuse
[ du triangle BJC rectangle en J ?
Comment calculer le cosinus de l’angle CBJ
C
Hypoténuse
b
B
b
CBJ
côté opposé à l’angle
b
Côté adjacent à l’angle
J
[ : CJ.
Il nous faut la longueur de l’hypoténuse : BC, et la longueur du côté adjacent à l’angle CBJ
Notation :
[ = BJ
cos CBJ
BC
2
11.2
Sinus et tangente d’un angle aigu
Définition 2
Sinus d’un angle aigu =
longueur du côté opposé à l’angle
longueur de l’hypoténuse
Tangente d’un angle aigu =
Exemple :
longueur du côté opposé à l’angle
longueur du côté adjacent à l’angle
soit le triangle F ER, rectangle en E :
Notations :
dans le triangle F ER, rectangle en E, on a :
ER
EF
et
cos \
ERF =
RF
RF
ER
\
\ = EF
sin RF
E=
et
sin ERF
RF
RF
ER
\ = EF
et
tan ERF
tan \
RF E =
EF
ER
le cosinus, le sinus ou la tangente permettent de trouver la longueur de côtés ou la mesure des angles
d’un triangle rectangle.
\
cos RF
E=
A
7
Exemple 1 Le triangle ABC est rectangle en A tel que AC = 7 cm et
[ = 55◦ . Calculer la longueur BC. Donner une valeur
ABC
approchée au millimètre près.
55◦
C
B
C
Exemple 2
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Sachant que AB = 4 et BC = 3, calculer la
b:
mesure de l’angle A
A
B
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11.3
Utilisation de la calculatrice
Ecrire ci dessous la méthode pour déterminer la valeur approchée d’un des coefficients (Cosinus, Sinus
ou Tangente) d’un angle donné en degré.
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Ecrire ci dessous la méthode pour déterminer une valeur approchée en degré d’un angle dont on
connait un des coefficients (Cosinus, Sinus ou Tangente).
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11.4
Relations trigonométriques
C
α
A
Théorème 3
B
Quel que soit l’angle strictement aigu α,
tan(α) =
sin(α)
=
cos(α)
Théorème 4
BC
AC
AB
AC
=
sin(α)
cos(α)
BC
AC
BC
×
=
= tan(α)
AC
AB
AB
Quel que soit l’angle α,
(sin α)2 + (cos α)2 = 1
2
2 BC 2 AB 2
2 +AB 2
(sin α)2 + (cos α)2 = BC
+ AB
= AC 2 + AC 2 = BCAC
2
AC
AC
Le triangle ABC étant rectangle en B, d’après la propriété de Pythagore, BC 2 + AB 2 = AC 2 .
2
2 +AB 2
= AC
=1
Donc (sin α)2 + (cos α)2 = BCAC
2
AC 2
4