Trigonométrie I. Relations trigonométriques dans un triangle rectangle.

Cours
3ème
Trigonométrie
A la fin de ce chapitre, je dois savoir:
 G20 : Connaître/utiliser les relations du sinus (pour calculer un angle aigu ou une longueur).
 G21 : Connaître/utiliser les relations de la tangente (pour calculer un angle aigu ou une longueur).
-1
-1
-1
 G22 : Utiliser les touches cos / cos / sin / sin / tan / tan de la calculatrice pour déterminer
une valeur approchée.
2
2
 G23 : Connaître / utiliser les relations cos a + sin a = 1 et tan a = sin a / cos a .
I.
Relations trigonométriques dans un triangle rectangle.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé (c’est-à-dire en face) à l’angle droit s'appelle ……………………………………… . Ici c’est ……………
̂:
Si on s’intéresse à l’angle 𝑩
̂ est ……………………
Le côté opposé à l’angle 𝑩
̂ est ……………………
Le côté adjacent à l’angle 𝑩
̂ :
Si on s’intéresse à l’angle 𝑪
̂ est ……………………
Le côté opposé à l’angle 𝑪
̂ est ……………………
Le côté adjacent à l’angle 𝑪
Remarque : 𝐵̂ + 𝐶̂ = 90°.
Dans un triangle rectangle,
• le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de
l'hypoténuse ;
• le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de
l'hypoténuse ;
• la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du
côté adjacent à cet angle.
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……………………………………………………………………………………………….
Remarques : Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
La tangente d'un angle aigu est un nombre supérieur à 0.
Démonstration:
Sur la figure ci-contre, A et A' sont deux points de la demidroite [Ox).
Les perpendiculaires à [Ox) passant respectivement par A et A'
coupent [Oy) en B et B'. Donc (B'A')//(BA).
Appliquons le thm de Thalès,
OA′
OA
=
OB′
OB
En utilisant le produit en croix, on a:
=
𝑂𝐴′
𝑂𝐵′
A′ B′
AB
𝑂𝐴
.
= 𝑂𝐵 et
𝐴′𝐵′
𝑂𝐵′
=
𝐴𝐵
𝑂𝐵
, la valeur de ces quotients ne dépend pas du
positionnement de A' mais de l'angle en O. On a donc introduit le cosinus et le sinus, on fait de même
pour la tangente.
Exemple: Le triangle COR est rectangle en R. Écris les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle
̂ puis la formule donnant la tangente de l'angle 𝑅𝐶𝑂
̂.
𝐶𝑂𝑅
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
…………………………………………………………………..
………………………………………………………………….
…………………………………………………………….
…………………………………………………………….
…………………………………………………………….
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II. METHODE: Calculer des longueurs.
̂ = 62°.
On considère un triangle LEO rectangle en E tel que LO = 5,4 cm et 𝐸𝐿𝑂
Calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre.
…………………………………………………………...…….
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
…………………………………………………………………..
………………………………………………………………….
………………………………………………………………….
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III. METHODE: Calculer la mesure d'un angle.
Soit FUN un triangle rectangle en U tel que UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm.
̂ arrondie au degré.
Calcule la mesure de l'angle 𝑈𝑁𝐹
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………………………………………………………………….
…………………………………………………………………..
………………………………………………………………….
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IV. Utiliser les formules de trigonométrie.
̂
sin 𝐵
Pour tout angle aigu 𝐵̂, (cos 𝐵̂ )² + (sin 𝐵̂ )² = 1 𝑒𝑡 tan 𝐵̂ = cos 𝐵̂ .
Remarque : La première formule peut aussi s'écrire cos ² 𝐵̂ + sin ² 𝐵̂ = 1 .