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¤ PCSI ¤
M1. Exercices.
Cinématique du point.
M1.1. Vecteur vitesse en coordonnées sphériques.
Le repère cartésien ( O, i, j , k ) étant lié à R, exprimer le vecteur vitesse vM / R en coordonnées sphériques. On
s'aidera de la propriété de superposition des vitesses.
M1.2. Mouvement cycloïdal.
On considère le mouvement d'une particule caractérisé par les équations cartésiennes paramétriques
suivantes:
x = r(t - sint)
y = r( 1 - cost)
avec 
r constants.
z=0
1)
Déterminer l'allure de la trajectoire.
2) Déterminer les composantes cartésiennes de v et a .
M1.3. Mouvement hélicoïdal.
Soit l'hélice droite définie en coordonnées cylindriques par les équations:
r=R
z = h
avec h et R constants.
Cette hélice est parcourue à la vitesse constante v par un point M.
1) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans la base cylindro-polaire.
2) Déterminer l’hodographe.
M1.4. Mouvement sur une spirale.
Un objet supposé ponctuel décrit, à vitesse angulaire  constante, la courbe plane d'équation en coordonnées
polaires : r  a exp  où a est une constante
L'origine des dates est choisi lorsque l'objet se trouve au point r = a et  = 0.
1) Déterminer l'allure de la courbe.
2) Déterminer l’expression de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires.
M1.5. Hodographe d'un mouvement parabolique
Soit un point M mobile dans le plan (Oxy). Son mouvement par rapport à un référentiel R est déterminé par:
Un vecteur accélération constant a  ae y


Un vecteur vitesse initiale de valeur à t = 0, vo et e x , vo  
Une position initiale : l'origine O du repère.
1) Déterminer, pour t > 0, la trajectoire et l'hodographe du mouvement.

2) Tracer les courbes pour   0 et  
4
M1.6. Mouvements rectilignes d’accélération a  kv n .
Une particule M se déplace sur une droite x’Ox de vecteur unitaire i . A partir de l’instant t = 0, où elle
passera en O ( x = 0 ) avec une vitesse vo = 20 m/s, on soumet la particule à une accélération négative,
proportionnelle à la puissance n-ième de la vitesse à chaque instant : a  kvn i où k et n sont des constantes
positives.
Pour chacun des trois cas n =1, n = 2, n = 4 :
 Ecrire en fonction de vo et k les expressions de la vitesse v(t), de l’abscisse x(t) et de la vitesse au
point d’abscisse x.
 A quelle vitesse et à quel instant la particule passera-t-elle à 150 m de l’origine O, si le module de
l’accélération à l’instant t = 0 vaut 2 m/s2 ?
M1.7. Accélération centrale.
Une particule est soumise a une accélération centrale, constamment dirigé vers le centre O du plan xOy et de
n
r 
norme a  k  o  , où k, ro et n sont des constantes positives. On utilisera les coordonnées polaires : r = OP
r


et   Ox, OP .
1) Comment faut-il choisir la vitesse initiale vo de la particule pour que sa trajectoire soit un cercle de
centre O, de rayon ro , décrit à la vitesse angulaire o ?
2) Les conditions précédentes n’étant pas rigoureusement remplies, la particule décrit une orbite plane
qui s’écarte légèrement de l’orbite circulaire de rayon ro. On posera alors :
OP  r  ro 1    avec  1.
On admettra que la vitesse v reste pratiquement perpendiculaire à OP .
a) Etablir l’équation différentielle :   02  3  n    0
b) Pour quelles valeurs de n le mouvement de la particule est-il stable ?
c) Pour n = 2, quel sera le mouvement de la particule ?