Année universitaire 2016-2017 ____________________________________________________________________ ESSAIA Série d'exercices de cinématique du point matériel Exercice 1: Une particule se déplace le long de l’axe x′ox; sa position à chaque instant, est donnée par: x(t) = 5t2 + 1 où x est en centimètres et t en secondes. Calculer ses vitesses moyennes dans l’ intervalle de temps : a) 2s et 2.1s ; b) 2s et 2.01s ; c) 2s et 2.001s ; d) 2s et 2.0001s. Calculer la vitesse instantanée à l’instant 2s. Exercice 2: Le mouvement d'un corps M suivant l'axe x′Ox est défini par : x(t) = 2t 3 + 5t 2 + 5 (m). 1/- Déterminer la vitesse v(t) et l'accélération a(t) du corps en fonction de t. 2/- Trouver la position, la vitesse et son accélération au point t1 = 2s et t 2 = 3s. 3/- Déterminer la vitesse moyenne et l'accélération moyenne entre t1 et t 2 . Exercice 3: Une voiture A est arrêtée à un feu rouge .Le feu devient vert et A démarre. Au même moment, une deuxième voiture B la dépasse, roulant à vitesse constante. Leurs courbes de vitesse en fonction du temps sont représentées sur la même figure ci-dessous. En donnant xA(0s)= xB(0s)= 0m: 1/- Combien de temps la voiture A a-t-elle mis pour avoir la même vitesse que celle de B? 2/- A ce moment, à quelle distance en avant de la voiture A se trouve la voiture B? 3/- A quelle moment la voiture A rattrape t- elle la voiture B? 𝒗 (𝒌𝒎/𝒉) 𝒗𝑨 60 40 𝒗𝑩 20 𝒕(𝟏𝟎−𝟑 𝒉) 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Exercice 4: Le graphe suivant représente le diagramme des vitesses d’un mobile se déplaçant sur une trajectoire rectiligne v(m/s) 2 1 0 -1 t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 -2 1/- Tracer le graphe de l’accélération en fonction du temps t. 2/- Donner la nature du mouvement dans les différentes phases. Justifier 3/- Quelle est la distance parcourue par le mobile entre t=0s et t=5s?. ________________________________________________________________________________________________ 1 Année universitaire 2016-2017 ____________________________________________________________________ ESSAIA 4/- En donnant x(0s) =0m. Calculez les positions x(1s), x(3s). 5/- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations aux instants t=1s et 3s. 6/- Donner l’équation horaire de v(t) dans l’intervalle 0s< 𝑡 <2s. Exercice 5: La figure suivante indique la coordonnée d'une particule selon l'axe x'Ox en fonction du temps. x(m) 2 1 t (s) 0 0 2 4 6 8 -1 8 -2 1/- Représenter sur un graphique la vitesse de la particule en fonction du temps. 2/- Représenter le vecteur vitesse aux instants t = 1,5s et t = 3s. 3/- Déterminer la distance parcouru entre t = 0s et t = 4s. Exercice 6 : A partir dudiagramme de l’accélération: 1- Déterminer v(t=2s) et v(t=6s)sachant que v(t=0s) = 1m/s. 2- Tracer le diagramme de vitesse. 3- Donner la nature du mouvement dans les différentes phases. Justifier 𝒂(𝒎𝒔−𝟐 ) 2 𝟎 0 2 4 6 𝒕(𝒔) −𝟐 Exercice 7 : Soit un mobile M se déplaçant sur un plan (xoy). Ses coordonnées à l’instant t sont 𝑥 = 2𝑡 données par : { 𝑦 = 4𝑡(𝑡 − 1) 1- Déterminer l’équation de la trajectoire y = f(x). 2- Donner l’expression de la vitesse en fonction du temps puis calculer sa vitesse pour t = 5s. 3-Déterminer les composantes cartésiennes de l’accélération puis son module |a⃗|. 4-Déterminer les composantes tangentielle et normale de l’accélération puis le rayon de courbure lorsque t = 3s. Exercice 8: On donne ses cordonnées en fonction du temps d’un point matériel M:{ x = 2 sin(2t) y = 2 cos(2t) 1- Déterminer l’équation de la trajectoire y = f(x). Que déduire. 2- Donner l’expression de la vitesse v en fonction du temps. 3- Déterminer les composantes tangentielle et normale de l’accélération puis déduire la nature du mouvement. ________________________________________________________________________________________________ 2 Année universitaire 2016-2017 ____________________________________________________________________ ESSAIA Exercice 9: Un mobile 𝑴 est repéré par ses coordonnées polaires r(t) et θ(t) dont les variations en fonction du temps sont données par les graphes ci-dessous : 𝜽(𝒓𝒂𝒅) r(m) 5 𝝅/𝟐 3 𝝅/𝟒 1 0 t(s) 2 4 6 t(s) 0 2 4 6 1- Tracer la trajectoire du mobile. 2- Représenter les vecteurs vitesse et accélération aux instants t = 1s et t = 4s. Echelle : 2𝑐𝑚 → 1𝑚/𝑠 ; 1𝑐𝑚 → 0.1𝑚/𝑠 2 ; 3- Quelles sont les différentes phases du mouvement et quelle est la nature de chacune d’elle entre t = 0s et t = 6s. Justifier. Exercice 10: Une particule se déplace sur une trajectoire circulaire. Ses abscisses sur le cercle sont données par s(t) = t 3 + 2t 2 . Sachant que l’accélération est 16√2 ms −2 à l’instant t=2s, quel est le rayon du cercle ? Exercice 11: Le vecteur position d'une particule M est donnée par les coordonnées polaires r(t) et θ(t) tel r(t) = t/2 (m) que: { 2 θ(t) = πt /2 (rad) 1- Représenter, à t = 1s, dans le repère (xOy) le vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM. Echelle : 1cm → 0.1m. 2- Déterminer les composantes radiale et transversale des vitesses v ⃗ r et v ⃗ θ pPuis représenter le vecteur vitesse dans le repère (xOy) à t = 1s. Echelle : 1cm → 0.25m/s. 3- Déterminer les composantes radiale et transversale, a⃗r et a⃗θ ,de l'accélération. 2 On donne : ar = r̈ − r θ̇ ; aθ = 2 ṙ θ̇ + r θ̈ Exercice 12 : Soit un mobile A, se déplaçant sur un axe x'Ox suivant la loi horaire : x(t) = Rcos(wt + φ) ; R = 0.5m. Le mouvement est sinusoïdal d’amplitude R, de pulsation w π et de phasage φ; On suppose qu’à t = 0s, x(0s) = R et qu’à t = 2w s , la vitesse est égale à π - 2 m/s . 1- Calculer φ, la phase ,et w, la pulsation, à l’origine des temps. En déduire la période T = 2π/w et la fréquence f = 1/T. 2- Etablir une relation entre x(t) et l’accélération a(t). 3- Représenter qualitativement sur une période T les graphes x(t), v(t) et a(t). ________________________________________________________________________________________________ 3