8 Nombres complexes

8 Nombres complexes
8.1 Nombres complexes
Résumé des principales étapes de la résolution des équations mathématiques :
• L’équation x + 5 = 3 n’a pas de solution dans N, mais en possède une dans Z : x = −2 ;
• L’équation 3x = 1 n’a pas de solution dans N ou Z (ni dans l’ensemble des nombres décimaux),
1
mais en possède une dans Q : x = ;
3
√
√
2
• L’équation x = 2 n’a pas de solution dans Q, mais en possède deux dans R : x = 2 et x = − 2 ;
• L’équation x2 + 1 = 0 n’a pas de solution dans R, mais en possède deux dans l’ensemble des
nombres complexes C : x = i et x = −i.
Chaque nouvel ensemble de nombres ainsi créé contient le précédent : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
8.1.1 Nombres complexes : forme algébrique
Théorème (admis) : Il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté C, qui possède
les propriétés suivantes :
• C contient l’ensemble des nombres réels R ;
• L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les
règles de calcul restent les mêmes ;
• Il existe un nombre complexe noté i tel que i2 = −1 ;
• Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique : z = x + iy, où x ∈ R et y ∈ R.
Définition : L’écriture z = x + iy, avec x ∈ R et y ∈ R, est appelée forme algébrique du nombre
complexe z.
x est la partie réelle de z, notée Re(z) et y est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
Exemple : Pour z =
√
√
3 − 2i, on a Re(z) = 3 et Im(z) = −2.
Remarques : • Re(z) et Im(z) sont des nombres réels ;
• Si Im(z) = 0, alors z est un nombre réel ;
• Si Re(z) = 0, alors z = iy, avec y ∈ R : z est un imaginaire pur.
Théorème : Deux nombres complexes sont égaux, si, et seulement si, ils ont même partie réelle et
même partie imaginaire.
Preuve : La forme algébrique d’un nombre complexe est unique, donc si z = a + ib = c + id, alors a = c et b = d. Remarque : En particulier (a + ib = 0) ⇔ (a = 0 et b = 0), a ∈ R et b ∈ R.
Conjugué d’un nombre complexe
Définition : On appelle conjugué du nombre complexe z = x + iy, le nombre complexe noté z, défini
par : z = x − iy.
Exemples : 2 + 3i = 2 − 3i ; 2i = −2i ; −4 = −4.
Remarques : • Ne pas confondre opposé et conjugué ;
• Le conjugué d’un réel est égal à ce réel ;
• Le conjugué d’un imaginaire pur est l’opposé de cet imaginaire pur.
34
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8. Nombres complexes
prog 2011
Premières propriétés du conjugué
Théorème : Pour tout nombre complexe z :
(1) z = z
(2) z + z = 2 Re(z)
(3) z − z = 2i Im(z)
(5) (z imaginaire pur) ⇔ (z = −z)
(4) (z ∈ R) ⇔ (z = z)
Preuve : z = x + iy, avec x et y réels : Re(z) = x et Im(z) = y.
(1) z = (x + iy) = x − iy = x + iy = z ;
(2) z + z = x + iy + x − iy = 2x = 2 Re(z) ;
(3) z − z = x + iy − (x − iy) = 2iy = 2i Im(z) ;
(4) Si z ∈ R, alors z = x, donc z = x = z ;
réciproquement si z = z, alors x − iy = x + iy et l’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on a
−y = y donc y = 0, ce qui prouve que z est réel.
(5) Si z est un imaginaire pur, alors z = iy, donc z = −iy = −z ;
réciproquement si z = −z, alors x − iy = −(x + iy) = −x − iy d’où on tire que x = −x et puis x = 0, ce qui prouve
que z est un imaginaire pur. 8.1.2 Calculs avec les nombres complexes
Addition
Si z = a + ib et z ′ = a′ + ib′ , alors :
• z + z ′ = a + a′ + i(b + b′ ) ;
• −z = −a − ib est l’opposé de z.
′
Exemples
:√z + z ′ = 2 − 2 − 3i√
+ 4i = i ;
√ : • z = 2′ − 3i et z = −2 + 4i, alors
′
• z = 3 − 2i et z = −1 + 2i, alors : z + z = 3 − 1 − 2i + 2i = 3 − 1.
Multiplication
Si z = a + ib et z ′ = a′ + ib′ , alors zz ′ = (a + ib)(a′ + ib′ ) = aa′ − bb′ + i(ab′ + ba′ ).
Exemples : • z = 2 + 3i et z ′ = −2 − 4i, alors zz ′ = (2 + 3i)(−2 − 4i) = −4 + 12 + i(−8 − 6) = 8 − 14i ;
√
√
√
√ 2
√
√
√
• z = 3 − 2i et z ′ = 3 + 2i, alors zz ′ = ( 3 + 2i)( 3 − 2i) = 3 − 4i2 + i(2 3 − 2 3) = 7.
Inverse et division
Théorème : Tout nombre complexe z non nul admet un inverse noté
1
1
tel que z × = 1.
z
z
Preuve : Soit z = a+ib, alors zz = (a+ib)(a−ib) = a2 +b2 , or si z est non nul, a et b ne peuvent pas être nuls simultanément
zz
z
a − ib
a − ib
1
a − ib
et a2 + b2 6= 0 ; par suite 2
= 1, ou encore z × 2
= 1, donc 2
est l’inverse de z : = 2
= 2
,
a + b2
a + b2
a + b2
z
a + b2
a + b2
ce qui prouve l’existence de l’inverse de z pour z 6= 0. Si z = a + ib et z ′ = a′ + ib′ , avec z ′ 6= 0, alors
Exemple :
1
a′ − ib′
z
= z × ′ = (a + ib) × ′2
.
′
z
z
a + b′2
2 − 3i
(2 − 3i)(5 − i)
5−i
7 − 17i
7
17
=
= (2 − 3i) × 2
=
=
− i.
5+i
5 + 12
26
26
26 26
Conjugué et opérations
Théorème : Pour tous nombres complexes z et z ′ et tout nombre entier naturel n non nul :
(1) z + z ′ = z + z ′
et si z 6= 0 :
(4)
math4bac
(3) z n = (z)n
(2) zz ′ = zz ′
Å ã
1
1
=
z
z
(5)
– 35 –
Å
z′
z
ã
=
z′
z
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8. Nombres complexes
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Preuve : Pour z = a + ib et z ′ = a′ + ib′ :
(1) z + z ′ = a + a′ + i(b + b′ ) = a + a′ − i(b + b′ ) = a − ib + a′ + ib′ = z + z ′ ;
(2) zz ′ = aa′ − bb′ + i(ab′ + ba′ ) = aa′ − bb′ − i(ab′ + ba′ ) et zz ′ = (a − ib)(a′ − ib′ ) = aa′ − bb′ − i(ab′ + ba′ ), donc
zz ′ = zz ′ ;
(3) la propriété précédente se généralise par récurrence pour z n = z n :
– la propriété est vraie au rang n = 1 : z 1 = z 1 = z,
– dès que z n = z n , alors z n+1 = (z n × z) = z n × z = (z)n × z = (z)n+1 ,
ce qui prouve la proposition pour tout n ∈ N, n > 0 ;
(4) Si z 6= 0,
1
z
=
1
a + ib
=
a − ib
a2 + b2
a
b
a + ib
1
+i 2
= 2
= ;
a2 + b2
a + b2
a + b2
z
=
z′
a − ib
aa′ + bb′ + i(ab′ − ba′ )
aa′ + bb′ − i(ab′ − ba′ )
z′
= (a′ + ib′ ) × 2
=
, alors
=
,
2
2
2
z
a +b
a +b
z
a2 + b2
′
′
′
′
′
′
′
′
′
z
a + ib
aa + bb + i(−ab + ba )
aa + bb − i(ab − ba )
d’autre part
= (a′ − ib′ ) × + 2 =
=
,
z
a b
a2 + b2
a+ b2
′
z′
z
=
.
donc
z
z
(5) Si z 6= 0,
8.2 Équation du second degré
8.2.1 Racines carrées d’un nombre réel dans C
Dans R seuls les nombres positifs a possèdent une racine carrée définie comme le réel positif, noté
√ 2
dont le carré est égal à a : a = a.
√
a,
Définition : Soit a un nombre réel.
Les solutions de l’équation z 2 = a sont appelées racines carrées de a dans C.
Théorème : Tout nombre réel a non nul admet deux racines carrées dans C :
√
√
• Si a > 0, alors les racines carrées de a sont les nombres a et − a ;
√
√
• Si a < 0, alors les racines carrées de a sont les nombres complexes i −a et −i −a.
Preuve : Si a > 0, alors :
d’où les racines carrées :
Si a < 0, alors :
√
(z 2 = a) ⇔ (z 2 −
√
a et − a.
√
2
a = 0) ⇔ ((z −
√
a)(z +
√
a) = 0)
Ä
ä
√ 2
√
√
(z 2 = a) ⇔ (z 2 + (−a) = 0) ⇔ z 2 − i −a = 0 ⇔ (z − i −a)(z + i −a) = 0
√
√
d’où les deux racines carrées : i −a et −i −a. Remarque : Les racines carrées dans C d’un réel sont opposées.
Exemples : Les racines carrées de 2 sont
√
√
√
√
2 et − 2 ; les racines carrées de −3 sont i 3 et −i 3.
8.2.2 Équation az 2 + bz + c
Théorème : L’équation az 2 + bz + c = 0, a, b et c réels et a 6= 0, de discriminant ∆ = b2 − 4ac,
admet :
b
• si ∆ = 0, une solution unique réelle : − ;
2a
√
√
−b + ∆
−b − ∆
et
;
• si ∆ 6= 0 et ∆ > 0, deux solutions réelles :
2a
2a
√
√
−b − i −∆
−b + i −∆
• si ∆ 6= 0 et ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées :
et
.
2a
2a
Preuve : Mise sous forme canonique :
b
c
az + bz + c = a z + z +
a
a
2
2
donc résoudre az 2 + bz + c = 0 revient à résoudre
math4bac
=a
z+
Å
b
z+
2a
2
=
b
2a
– 36 –
2
∆
− 2
4a
ã
, avec ∆ = b2 − 4ac
∆
, car a 6= 0. Alors :
4a2
v1.618
Maths Ts
8. Nombres complexes
• si ∆ = 0,
z+
b
2a
2
• si ∆ > 0,
z+
b
2a
2
b
• si ∆ < 0, z +
2a
√
−b + i −∆
.
2a
2
= 0 est équivalent à : z = −
prog 2011
b
;
2a
√
√
√
√
∆
b
−b − ∆
b
−b + ∆
∆
∆
est
équivalent
à
:
z
=
−
−
=
ou
z
=
−
+
=
;
4a2
2a
2a
2a
2a
2a
2a
Å √ ã2
√
√
√
−∆
−∆
−∆
b
−b − i −∆
b
est équivalent à : z = −
=−
−i
=
ou z = −
+i
=
2a
2a
2a
2a
2a
2a
=
Remarque : Si on note z1 et z2 les solutions de l’équation az 2 +bz+c = 0 (racines du polynôme az 2 +bz+c),
éventuellement égales (z1 = z2 ), alors pour tout nombre complexe z : az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 ).
Exemple : z 2 + z + 1 = 0 a pour discriminant
∆ = −3,√donc les solutions Ç
dans C de √
cette
sont
å équation
Ç
å
√
√ les
1
1
1+i 3
1−i 3
3
3
2
nombres complexes conjugués : − − i
et − + i
et z + z + 1 = z +
z+
.
2
2
2
2
2
2
8.3 Représentation géométrique
Définition : • À tout point M du plan de coordonnées M (x ; y) est associé le complexe z = x + iy,
appelé affixe de M ; on note aussi M (z) pour M (x ; y) ;
• À tout complexe z = x + iy, avec x et y réels, on associe le point M de coordonnées M (x ; y),
appelé point image de z ;
• Le plan muni d’un repère orthonormal direct (O; ~u,~v ) dans lequel on représente les nombres complexes est appelé plan complexe.
Rappel : Le repère orthonormal (O; ~u,~v ) est direct si (~u; ~v ) =
π
(angle orienté de vecteurs).
2
Exemple : Les nombres complexes 5 + 3i, 5 − 3i, −1 − i, −3 + 2i et 2 + i sont les affixes respectives des
points A(5 ; 3), B(5 ; −3), C(−1 ; −1), D(−3 ; 2) et M (2 ; 1).
A est le point image du nombre complexe 5 + 3i, etc.
Remarques : • Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses appelé aussi axe des
réels dans le plan complexe ;
• Les nombres imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des ordonnées appelé aussi axe des
imaginaires purs dans le plan complexe ;
• Les points images de deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l’axe des
réels ; ainsi les points A et B de la figure ayant des affixes conjuguées 5 + 3i et 5 − 3i sont symétriques
par rapport à l’axe des abscisses.
y
A(5 ; 3)
D(−3 ; 2)
M (2 ; 1)
x
C(−1 ; −1)
B(5 ; −3)
math4bac
– 37 –
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Affixe du milieu d’un segment
Théorème : Si deux points A et B ont pour affixes respectives zA et zB , alors l’affixe du milieu M
zA + zB
.
du segment [AB] est zM =
2
xA + xB
et yM =
2
+ iyB
zA + zB
=
.
2
Preuve : zA = xA + iyA et zB = xB + iyB , alors les coordonnées du milieu M de [AB] sont : xM =
xA + xB
yA + yB
xA + xB + i(yA + yB )
xA + iyA + xB
yA + yB
, d’où l’affixe de M : zM =
+i
=
=
2
2
2
2
2
Exemple : Sur la figure ci-dessus M d’affixe zM = 2 + i est le milieu du segment [AC]. En effet :
zA + zC
1
1
= (5 + 3i − 1 − i) = (4 + 2i) = 2 + i = zM .
2
2
2
Vecteurs dans le plan complexe
Définition : Dans le plan complexe :
• à tout vecteur ~u de coordonnées (x ; y) est associé le nombre complexe z = x + iy appelé affixe
de ~u ;
• à tout nombre complexe z = x + iy, avec x et y réels, on associe le vecteur ~u de coordonnées
(x ; y) appelé vecteur image de z.
−→
Exemple : Sur la figure ci-dessus, zA = 5 + 3i est l’affixe du vecteur OA ;
−→
OA est le vecteur image de zA .
Théorème : Si A et B sont deux points du plan complexe d’affixes respectives zA et zB , alors le
−
−
→
vecteur AB a pour affixe zB − zA .
Preuve : zA = xA + iyA affixe de A, donc A(xA ; yA ) et zB = xB + iyB affixe de B, donc B(xB ; yB ), alors les coordonnées
−→
−→
du vecteur AB sont (xB − xA ; yB − yA ), ce qui prouve que zB − zA = xB − xA + i(yB − yA ) est bien l’affixe de AB. −−→
Exemple : Sur la figure ci-dessus, zA = 5 + 3i et zD = −3 + 2i, alors AD a pour affixe zD − zA =
−3 + 2i − (5 + 3i) = −8 − i.
Théorème : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
Preuve : Soit u
~ d’affixe z = x + iy, avec x et y réels, et u~′ d’affixe z ′ = x′ + iy ′ , avec x′ et y ′ réels. Alors :
(~
u = u~′ ) ⇔ (~
u − u~′ = ~0) ⇔ (z − z ′ = 0) ⇔ (x − x′ + i(y − y ′ ) = 0) ⇔ (x = x′ et y = y ′ )
car l’écriture algébrique d’un nombre complexe est unique. Théorème : Soient ~u et ~v d’affixes respectives z et z ′ et λ un réel, alors l’affixe du vecteur ~u + ~v est
z + z ′ et celle du vecteur λ~u et λz.
Preuve : Si z = x+iy et z ′ = x′ +iy ′ , le vecteur ~
u+~v a pour coordonnées (x+x′ ; y+y ′ ) donc pour affixe x+x′ +i(y+y ′ ) = z+z ′
et λ~
u a pour coordonnées (λx ; λy) donc pour affixe λx + iλy = λ(x + iy) = λz. 8.4 Forme trigonométrique
Module d’un nombre complexe
Définition : Dans le plan complexe, z étant un nombre complexe de forme algébrique z = x + iy (x et y réels uniques),
le module de z est le nombre réel positif noté |z| et défini
par :
p
|z| = x2 + y 2
M (z)
y
|z|
~v
0
~u
math4bac
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x
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p
2
2
Exemples : • Pour
√ z = 3 − 4i,…|z| = 3 + (−4) = 5.
Ä
√
ä
2
2
3 1
+ i, |z| =
− 23 + 12 = 1.
• Pour z = −
2
2
Interprétation géométrique : Dans le plan complexe, si M a
pour affixe z, alors : |z| = OM (Pythagore).
Théorème : Pour tout nombre complexe : zz = |z|2 .
Preuve : Soit z = x + iy (x et y réels), alors zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 =
2
p
x2 + y 2 = |z|2 . Argument d’un nombre complexe
M (z)
y
Définition : Dans le plan complexe de repère (O; ~u,~v ), z est
un nombre complexe non nul de point image M . On appelle
argument de z, etÄon noteä arg z, toute mesure en radians
−−→
de l’angle orienté ~u ; OM .
~v
0
arg z
x
~u
Remarque : Un nombre complexe non nul z a une infinité
d’arguments ; si θ = arg z, alors tous les arguments de z sont
de la forme θ + 2kπ, avec k ∈ Z.
On note alors : arg z = θ [2π] (« θ [2π] » se lit « θ à 2π près »
ou « θ modulo 2π »).
Forme trigonométrique
|z| sin θ
Si M est le point image du nombre complexe z d’argument
θ [2π] et N l’intersection de la demi-droite [OM ) avec le
cercle trigonométrique, alors zN = cos θ + i sin θ et comme
−−→
−−→
ON = 1, |zN | = 1 et OM = |z| ON , donc z = |z|(cos θ +
i sin θ).
~v
0
M (z)
N
θ
~u
|z| cos θ
Définition : Pour tout nombre complexe non nul z, l’écriture z = |z|(cos θ+i sin θ), avec arg z = θ[2π],
est appelée forme trigonométrique de z.
Remarques : • 0 n’a pas de forme trigonométrique (0 n’a pas d’argument) ;
• La forme trigonométrique d’un nombre complexe n’est pas unique, puisqu’il y a une infinité de mesure
de l’argument de z.
Le théorème suivant découle directement de cette définition et de l’unicité de l’écriture algébrique.
Théorème : • Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module
et même argument à 2π près.
• De plus si z = r(cos α + i sin α), avec r ∈ R et r > 0, alors |z| = r et arg z = α [2π].
Premières propriétés du module et de l’argument
Théorème : Pour tout nombre complexe z non nul :
(1) | − z| = |z| et arg(−z) = arg z + π [2π] ;
(2) |z| = |z| et arg(z) = −arg z [2π] ;
(3) (z ∈ R et z 6= 0) ⇔ (arg z = 0 [2π] ou arg z = π [2π]) (ou plus simplement : arg z = 0 [π]) ;
(4) (z imaginaire pur) ⇔ (arg z =
π
2 [π]).
π
2
[2π] ou arg z = − π2 [2π]) (ou plus simplement : arg z =
Preuve : Pour tous z = x + iy, avec x et y réels, non tous deux nuls :
math4bac
– 39 –
v1.618
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8. Nombres complexes
prog 2011
p
p
(1) | − z| =
(−x)2 + (−y)2 =
x2 + y 2 = |z| ; les points images de deux complexes opposés étant symétriques par
rapport à l’origine, arg(−z) = arg z + π [2π] (demi tour) ;
p
p
(2) |z| =
x2 + (−y)2 =
x2 + y 2 = |z| ; les points images de deux nombres complexes conjugués étant symétrique
par rapport à l’axe des abscisses, arg(z) = −arg z [2π] ;
−−→
−−→
(3) Pour M est le point image de z, z ∈ R équivaut à u
~ ; OM = 0[2π] ou ~
u ; OM = π [2π], c’est-à-dire arg z = 0[2π]
ou arg z = π [2π] (on écrit aussi plus simplement : arg z = 0[π]) ;
−−→
π
−−→
π
(4) Pour M est le point image de z, z imaginaire pur équivaut à u
~ ; OM = [2π] ou u
~ ; OM = − [2π] (on écrit
2
2
π
aussi plus simplement : arg z = [π]). 2
Modules et arguments d’un produit ou d’un quotient
Théorème : Pour tous nombres complexes z 6= 0 et z ′ 6= 0 et pour tout entier naturel n :
(1) |zz ′ | = |z||z ′ | et arg(zz ′ ) = arg z + arg z ′ [2π] ;
′
Å ′ã
z |z ′ |
z
(2) =
et arg
= arg z ′ − arg z [2π] ;
z
|z|
z
(3) |z n | = |z|n et arg(z n ) = n × arg z [2π].
Preuve : Pour tous z = |z|(cos θ + i sin θ) et z ′ = |z ′ |(cos θ ′ + i sin θ ′ ) et tout n ∈ N :
(1) |zz ′ | = |z||z ′|(cos θ+i sin θ)(cos θ ′ +i sin θ ′ ), or (cos θ+i sin θ)(cos θ ′ +i sin θ ′ ) = cos θ cos θ ′ −sin θ sin θ ′ +i(sin θ cos θ ′ +
cos θ sin θ ′ ) = cos(θ + θ ′ ) + i sin(θ + θ ′ ), d’après les formules d’addition de trigonométrie,
il est alors clair que |zz ′ | = |z| |z ′ | et arg(zz ′ ) = arg z + arg z ′ [2π] ;
p
z
1
x
y
x − iy
x2 + y 2 et = 2
−i 2
= 2
=
,
(2) si z = x + iy, |z| =
z
x + y2
x + y2
x + y2
|z|2
′|
z′
z′z
|z ′ | |z|
|z
alors
=
=
(cos θ ′ + i sin θ ′ )(cos θ − i sin θ) =
(cos(θ ′ − θ) + i sin(θ ′ − θ)),
2
|z|2
|z|
z |z|
′
z ′ |z ′ |
z
et arg
= arg z ′ − arg z [2π] ;
alors =
z
|z|
z
(3) On démontre par récurrence :
a) pour n = 1 on a bien |z 1 | = |z| = |z|1 et arg(z 1 ) = arg z [2π] ;
b) pour tout n > 1, dès que |z n | = |z|n et arg(z n ) = n × arg z [2π], alors |z n+1 | = |z n × z| = |z n | |z| = |z|n × |z| =
|z|n+1 et arg(z n+1 ) = arg(z n × z) = arg(z n ) + arg z [2π] = n × arg z + arg z [2π] = (n + 1) × arg z [2π]. Théorème : Si A et B sont deux points du plan complexe de repère orthonormé (O; ~u,~v ), d’affixes
respectives zA et zB , alors : AB = |zB − zA |.
−
−
→
De plus si A et B sont distincts : (~u ; AB) = arg(zB − zA ) et pour tous points C et D distincts
d’affixes respectives zC et zD :
Å
ã
Ä−−
→ −−→ä
zD − zC
CD
|zD − zC | zD − zC et
AB
;
CD
=
arg(z
−
z
)
−
arg(z
−
z
)
=
arg
=
=
D
C
B
A
AB
|zB − zA |
zB − zA zB − zA
−−→ −→
Preuve : Il existe un unique point M d’affixe zM tel que OM = AB. Donc zM = zB − zA .
−→
−−→
Alors AB = OM = |zM | = |zB − zA | et u
~ ; AB = u
~ ; OM = arg zM = arg(zB − zA ).
|zD − zC |
CD
−−→
zD − zC =
=
de même CD = |zD − zC | et u
~ ; CD = arg(zD − zC ), donc
AB
|zB − zA |
zB − zA
zD − zC
−→ −−→
−→ −−→
−−→
−→
~ + u
~ ; CD = u
~ ; CD − u
~ ; AB = arg(zD − zC ) − arg(zB − zA ) = arg
et AB ; CD = AB ; u
.
zB − zA
Attention : Les théorèmes énoncés ci-dessus sur les modules et arguments de produits et quotients de
nombres complexes, ne s’appliquent pas à la somme de deux nombres complexes.
On ne peut donc pas calculer simplement le module ou l’argument de la somme ou de la différence de
deux nombres complexes.
Inégalité triangulaire
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Maths Ts
8. Nombres complexes
prog 2011
C
Théorème : Pour tous nombres complexes z et z ′ :
B(z ′ )
′
|z + z ′ | 6 |z| + |z ′ |
z+
z
A(z)
Preuve : Soient A et B les points d’affixes respectives z et z ′ , et C le
−
−
→
−→ −
−
→
−
−
→
point défini par : OC = OA + OB. Alors l’affixe de OC est z + z ′ et
0
par l’inégalité triangulaire dans le triangle OAC (ou le triangle OBC)
on a : OC 6 OA + AC (ou OC 6 OB + BC) ce qui s’écrit aussi (dans
les deux cas) : |z + z ′ | 6 |z| + |z ′ |. Écriture exponentielle complexe
Remarquons que si on écrit la fonction f (θ) = cos θ + i sin θ,
on a vu que f (θ) × f (θ′ ) = f (θ + θ′ ). En effet, d’après les formules d’addition de trigonométrie :
f (θ) × f (θ′ ) =
=
=
=
(cos θ + i sin θ)(cos θ′ + i sin θ′ )
cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(cos θ sin θ′ + sin θ cos θ′ )
cos(θ + θ′ ) + i sin(θ + θ′ )
f (θ + θ′ )
Or cette relation fonctionnelle : f (θ) × f (θ′ ) = f (θ + θ′ ) est analogue à la relation caractéristique de la
fonction exponentielle.
C’est cette analogie qui a amené le mathématicien Euler à définir l’écriture exponentielle complexe en
1748 : eiθ = cos θ + i sin θ.
Ainsi eiθ désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument θ.
Définition : La forme exponentielle complexe d’un nombre complexe z non nul dont un argument est
θ, est l’écriture : z = |z|eiθ .
iπ
iπ
i2
Exemples : −2 = 2e
Ç ; −1
√=åe ; i = e ; π √
1
π
3
π
5π
−i
z = 2 − 2i 3 = 4
= 4 cos −
+ i sin −
= 4e−i 3 = 4ei 3 .
2
2
3
3
π
2π
Attention : z = −4ei 3 n’est pas une écriture exponentielle, car −4 < 0 ; on peut écrire z = −1 × 4ei
2π
2π
5π
puis en utilisant le fait que −1 = eiπ : z = eiπ × 4ei 3 = 4ei(π+ 3 ) = 4ei 3 .
2π
3
,
L’écriture exponentielle des nombres complexes permet de réécrire plus simplement de nombreuses propriétés des nombres complexes.
Théorème : Pour tous complexes z et z ′ non nuls, d’arguments respectifs θ et θ′ :
(1) z = |z|e−iθ
(2)
1
1 −iθ
=
e
z
|z|
′
(3) zz ′ = |z| |z ′ |ei(θ+θ )
(4)
z′
|z ′ | i(θ′ −θ)
=
e
z
|z|
Preuve : Ces propriétés se démontrent aisément à l’aide des théorèmes sur le module et l’argument du conjugué d’un
complexe, de son inverse, du produit ou d’un quotient de deux complexes. Attention : L’écriture exponentielle des complexes n’est pas judicieuse pour calculer des sommes de
nombres complexes (utiliser l’écriture algébrique, éventuellement sous forme trigonométrique).
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