Fiche Mémo TRIGONOMETRIE Savoir convertir des angles de

Fiche Mémo
TRIGONOMETRIE
1. Savoir convertir des angles de degré en radians et réciproquement
Rappel de cours
Exercice résolu
2. Connaître les lignes trigonométriques usuelles
Rappel de cours
Exercice résolu
3. Lignes trigonométriques d’angles associés
Rappel de cours
Exercice résolu
4. Formules de trigonométrie, addition et duplication
Rappel de cours
Exercice résolu
5. Trigonométrie dans le triangle .
Rappel de cours
Exercices résolu
Pour s’entrainer : http://maths54.free.fr/maths1/remanive/trigoniv1.html
1. Savoir convertir des angles de degré en radians et réciproquement
Les angles se mesurent en radians ou en degrés.
Un tour complet fait 2 radians ou 360°.
Un angle droit est un quart de tour il vaut 2 ou 90°
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Enoncé :
Convertir 4rd en degrés puis convertir 100° en radian.
Solution
On a 2 rd = 360° soit 1rd= 180/ ° donc 4rd= 720/
On a 1°=2 /360 rd donc 100°=200 / 360rd rd
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2. Connaître les lignes trigonométriques usuelles
Les deux fonctions trigonométriques essentielles sont le sinus et le cosinus elles sont définies
sur R et périodiques de période 2 .
Soit x un réel compris entre 0 et 2 et A le point du cercle de centre O et de rayon 1 tel que
l’angle (OI, OM) mesure x radian, alors, cos x est l’abscisse de A et sin x son ordonnée.
cos x= cos(OJ,OA) = mesure algébrique de OP
sin x = sin (OJ,OA) = mesure algébrique de OQ
Q
A
O
P
J
La fonction tangente est le quotient de sin par cos c’est donc une fonction définie lorsque le
sinus est non nul c'est-à-dire sur
On a
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Enoncé : reproduire et compléter le tableau suivant :
Mesure en rd
Mesure en °
cos
sin
tan
Solution
0

30°


60°
Solution
Mesure
en rd
Mesure
en °
cos
sin
tan
Retour
0




0°
30°
45°
60°
90°
1
0
0
/2
1/2
0
/2 1/2
1
/2
/2
1
1/ /2 Non
def.
3. Lignes trigonométriques d’angles associés
On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.
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Enoncé : reproduire et compléter le tableau suivant

Mesure en rd
Mesure en °
sin
cos
tan
Solution
120°

150°

  
240°
Solution
Mesure en rd 
Mesure en ° 120°
    
1 3 5 ° 150°
cos
-√2/2
-1/2
/2 √ 2 / 2 1/2
sin
tan
Retour
-
-
-
1 -1/


180° 240°
/2 -1
0
0
-1/2
-

270°
 
330
360°
0
/2 -1
/2
-1/2
non déf. -
1
0
0
4. Formules d’addition et de différence
Retour
Enoncé
Touver l’amplitude A (réel positif) et la phase de sorte que :
Asin(t +
Solution
sin(t) + 2cos(t)
Solution
A sin(t + ) = A[cossint +sincost ]= 
sin(t) + 2cos(t)
On cherche donc A et tels que a
Acos
et Asin
Donc : tan =1/
donc =/6 ou =7/6 comme le sinus et le cosinus sont positifs, on a
2
=/6 et A = 16 donc A=4 car A est positif.
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5. Trigonométrie dans le triangle rectangle
Dans le triangle ITR rectangle en I, on a :
cos
=
sin
=
tan
=
Le projeté orthogonal du segment RT sur la droite (IR) vaut IR= RT cos
Trigonométrie dans le triangle quelconque
Dans tout triangle, les longueurs des côtés
sont proportionnelles aux sinus des angles
opposés.
a
sin Aˆ

b
sin Bˆ

c
sin Cˆ
Cette propriété est souvent appelée loi des
sinus.
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Enoncé 1
La longueur AB mesure 130m, l’angle en B
mesure 39°.
Quelle est la longueur du projeté orthogonal
de AB sur BC ?
Enoncé 2
Déterminer les longueurs m et n des
côtés LN et LM du triangle LMN cicontre pour MN = 15 cm.
N = 45° ; M = 105°.
Solution
Solution de l’exercice1
La longueur du projeté orthogonal de AB sur Bc est la longueur de BC
Or, le triangle ABC est rectangle en C, on a donc : cos
Donc BC = AB* cos
=
= 130*cos(39°) 101,03m
Solution de l’exercice 2
Le troisième angle du triangle mesure 30° (puisque la somme des angles fait 180°)
Donc d’après la loi des sinus, on a
LM
LN
15


.
sin 45 sin 105 sin 30
Donc LM =
Retour
15
2 15
2  12.24cm et LN = 0.97
2  16.73cm
2 3
3