Sous épreuve : E12 - Académie de Nancy-Metz

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BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL
"MAINTENANCE DES
ÉQUIPEMENTS INDUSTRIELS"
SESSION 2007
EPREUVE : E1
Sous épreuve : E12
Unité : U12
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CCF n° 1
MATHÉMATIQUES ET SCIENCES PHYSIQUES
Professeurs : M. OPPE Roland et M. EL GHEMAZ Majid
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Durée : 2 heures
Coefficient : 3
Le présent sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7 /7 auquel est inclus le
formulaire.
L'usage de la calculatrice est autorisé
SESSION : 2007
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Coef. : 3
Durée : 2h
MAINTENANCE DES EQUIPEMENTS INDUSTRIELS
Epreuve : E1 - SOUS EPREUVE E12 - U12
-
MATHEMATIQUES ET SCIENCES PHYSIQUES
MATHEMATIQUES : (14 points)
Une entreprise de dépannage en appareils électroménagers vient d’acquérir un nouveau véhicule et décide
alors de poser sur les portières un autocollant publicitaire.
On cherche à déterminer les dimensions à donner à cet autocollant pour assurer sa lisibilité sans nuire à
l’esthétique du véhicule.
La place disponible est un rectangle de longueur 120 cm et de largeur 80 cm.
La forme et la disposition de l’autocollant (ABCDEFGH) dans le rectangle sont indiquées dans la figure
ci-dessous. Elles dépendent de la distance x.
120
30 – x
A
B
10 + x
20
10 + x
20
80
F
E
10
H
G
30 – x
D
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
C
60
Partie A : Calcul de l’aire de l’autocollant.
1- Calculer l’aire du rectangle FEDG.
2- Exprimer en fonction de x l’aire du rectangle ABCH.
3- En déduire que l’aire A, en cm², de l’autocollant ABCDEFGH est :
A(x) = – 4 x² + 160 x + 1600.
Partie B : Etude d’une fonction.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 30] par :
f (x) = – 4 x² + 160 x + 1600.
1- Compléter le tableau de valeurs de f situé sur l’annexe.
2- Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f.
3- Résoudre f ' (x) = 0 et f ' (x) > 0. Compléter alors le tableau de variation de f situé dans l’annexe à
remettre avec la copie.
4- Tracer la courbe représentative de f en utilisant le repère de l’annexe.
5- Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse x = 10.
Tracer cette tangente dans le repère de l’annexe.
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Durée : 2h
MAINTENANCE DES EQUIPEMENTS INDUSTRIELS
Epreuve : E1 - SOUS EPREUVE E12 - U12
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MATHEMATIQUES ET SCIENCES PHYSIQUES
Partie C : Exploitation des parties A et B pour la recherche de valeurs de x.
1- Déterminer graphiquement les valeurs de x en cm pour lesquelles l’aire f (x) de l’autocollant est
égale à 3000 cm². (Laisser apparents les traits nécessaires à la lecture).
Retrouver par le calcul ces résultats (arrondis à l’unité) en résolvant l’équation f (x) = 3000.
2- Quelle est l’aire maximale de l’autocollant ? Pour cette aire, déterminer AB et AH en cm.
3- Un rectangle de longueur L et de largeur  a une forme parfaitement équilibrée si :
L 1 5

(1)
(nombre d'or)
2
Pour la suite du problème, on prend 1,6 comme valeur approchée de
1 5
2
a) Pour L = 2 ( 50 – x ) et  = 2 ( 10 + x ), montrer que la relation (1) s’écrit :
50 – x = 1,6 ( 10 + x )
b) Résoudre cette équation (arrondir à l'unité).
En remarquant que AB = L et AH = , en déduire sans calcul, l’aire d’un autocollant de forme
équilibrée.
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Epreuve : E1 - SOUS EPREUVE E12 - U12
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Durée : 2h
MATHEMATIQUES ET SCIENCES PHYSIQUES
Sciences Physiques (6 points)
La manipulation de certains profils des appareils ménagers est assurée par un robot muni de ventouses à
air comprimé qui fonctionnent sur le principe Venturi.
Remarque : le terme « vacuum » signifie « vide ».
Le générateur de vide est alimenté, dans la partie A, par de l’air comprimé dont le débit Q est égal à
10 L/min, sous une pression pA égale à 5 bars.
L’aire de la section SB de la buse B est égale à 2.10-7 m2
On donne : vA  0 m/s (vitesse négligeable par rapport à la vitesse vB),
masse volumique de l’air :  = 1,3 kg/m3.
1. Convertir le débit Q en m3/s. Arrondir le résultat à 10-5.
2. Calculer, en m/s, la vitesse vB d’écoulement de l’air dans la buse B.
3. En utilisant l’équation de Bernoulli simplifiée, calculer, en pascal, la pression pB dans la buse B.
Arrondir le résultat à l’unité ;
Les résultats trouvés sont-ils conformes au principe de Venturi ? Justifier la réponse.
4. La force de préhension de la ventouse est calculée à l’aide de la formule :
F = (patmosphérique  pB)  S avec
S
:
surface
de
contact
de
la
ventouse;p
atmosphérique : pression atmosphérique;pB : pression sous la ventouse
{
Sachant que la surface de contact de la ventouse avec la pièce est égale à 0,08 m 2, calculer, en
newtons, la valeur F de la force de préhension.
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Durée : 2h
MATHEMATIQUES ET SCIENCES PHYSIQUES
5. Calculer alors la valeur, en kg, de la masse m de la pièce que peut déplacer cette ventouse.
On prendra : g = 9,81 N/kg.
Formulaire :
patmosphérique = 1,013 bar
1 bar = 105 Pa
Débit volumique : Q = S.v
Equation de Bernoulli simplifiée : ½  v12 + p1 = ½  v22 + p2
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Durée : 2h
MAINTENANCE DES EQUIPEMENTS INDUSTRIELS
Epreuve : E1 - SOUS EPREUVE E12 - U12
-
MATHEMATIQUES ET SCIENCES PHYSIQUES
ANNEXE
Question B-1 : tableau de valeurs
x
f (x)
0
5
10
15
20
25
30
Question B-3 : tableau de variation
x
Signe de f ' (x)
0
…
0
30
Variations de f
Question B-4: courbe de f. Question B-5: tracé de la tangente
y
3000
2000
1000
200
0
x
2
10
20
30
FORMULAIRE
Fonction f
f (x)
ax + b
Dérivée f '
f '(x)
a
2x
x2
3x
x3
1
x
-
u(x) + v(x)
a u(x)
Logarithme népérien : ln
ln (ab) = ln a + ln b
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Statistiques
p
Effectif total N =
p
 ni x i
2
1
Moyenne x =
x2
Variance
u'(x) + v'(x)
a u'(x)
ln (an) = n ln a
a
ln ( ) = ln a - ln b
b
 ni
i=1
i =1
N
p
p
 ni ( xi  x ) 2
V =
i =1
=
N
Ecart type  =
Relations
rectangle
 ni xi2
i =1
N
V
métriques
dans
Equation du second degré ax 2  bx  c  0
  b 2  4ac
le
triangle
A
AB 2  AC 2  BC 2
- Si   0, deux solutions réelles :
b  
b  
x1 
et x 2 
2a
2a
- Si   0, une solution réelle double :
b
x1  x 2  
2a
- Si  < 0, aucune solution réelle
Si   0, ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x 2 )
Suites arithmétiques
Terme de rang 1 : u1 et raison r
Terme de rang n : un = u1 + (n–1)r
Somme des k premiers termes :
k(u1  u k )
2
Suites géométriques
Terme de rang 1 : u1 et raison q
Terme de rang n : un = u1.qn-1
Somme des k premiers termes :
u1  u 2  ....  u k 
u1 + u2 + ... + uk = u1
 x2
1  qk
1 q
Trigonométrie
sin (a +b ) = sina cosb + sinb cosa
cos (a +b ) = cosa cosb - sina sinb
2
cos 2a = 2 cos a - 1
2
= 1 - 2 sin a
sin 2a = 2 sina cosa
B
C

H
sin
=
; cos
=
; tan
=
Résolution de triangle
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
R : rayon du cercle circonscrit
a2  b2  c2  2bc cos A
Aires dans le plan
Triangle :
1 bc sin A

2
Trapèze :
1 ( B + b )h
2
2
Disque : R
Aires et volumes dans l'espace
Cylindre de révolution ou prisme droit d'aire
de base B et de hauteur h : Volume Bh
Sphère de rayon R :
Aire : 4R 2
4 3
R
3
Cône de révolution ou pyramide de base B
et de hauteur h : Volume 1 Bh
3
Calcul
vectoriel dans le plan
- dans l'espace
 
 
v . v'  xx'  yy' 
v . v'  xx'  yy'  zz' 
Volume


v  x 2  y2
v  x 2  y2  z2
 
 
Si v  0 et v'  0 :
 


 
v . v '  v  v' cos(v , v' )
 
 
v . v '  0 si et seulement si v v '