Nombres Complexes

Nombres Complexes.
A. Forme algébrique d’un nombre complexe.
A.1. Définition. On admet l’existence d’un nombre nouveau noté i dont le carré i² est égal à –1
L’ensemble des nombres complexes est un ensemble contenant   { i } dans lequel nous
pouvons étendre l’application des règles de calcul de l’addition et de la multiplication dans .
Cet ensemble est noté : .
Les nombres de cet ensemble sont de la forme a + bi avec a   et b  .
Cette écriture est dite forme algébrique des nombres complexes.
Le réel a est appelé la partie réelle du nombre complexe.
Le réel b est appelé la partie imaginaire du nombre complexe.
Exemples. z1 = 7 + 4i ;
z2 = - 7i ; z3 = 4.
Re(z1) = 7 ; Im(z1) = 4. z2 est un imaginaire pur. z3 est un réel.
Remarque. Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Les physiciens préfère
remplacer la notation i par j afin d’éviter la confusion avec l’intensité i d’un courant.
A.2. Représentations géométriques d’un nombre complexe.
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O,

;u,

;v),
Le nombre complexe z = a + bi est représenté par le point
b

M(a ; b) ou par le vecteur
;OM(a ; b).
z = a + ib est appelé l’affixe du point M ou du vecteur

;OM
Le point M est appelé point image du complexe z.

Le vecteur
M
;OM est appelé vecteur image du complexe z.
Exemples. Représenter dans le repère orthonormal (O,
●
le point A d’affixe z1 = – 1 + 2i,
●
le vecteur
●
le point B d’affixe z3 = 5,
●
le point C d’affixe z4 = 3i.
v
O u
a
 
;u, ;v),

;w d’affixe 3 – 5i,
Vocabulaire. Dans le plan complexe l’axe des abscisses est appelé axe des réels alors que
l’axe des ordonnées est appelé l’axe des imaginaires.
A.3. Égalité de deux nombres complexes.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties
imaginaires sont égales. En particulier a + bi = 0  a = 0 et b = 0.
Déterminer les réels x et y tels que (x – 2) +(y – 1)i = 2 – 3i.
Application.
A.4. Addition des nombres complexes.
Exemple.
z = – 2 + i, z’ = 3 + 2i, calculer z + z’.
Représenter le vecteur

;u image de z, le vecteur

;v image de z’ et le vecteur

;w image de z + z’. Que remarque-t-on ?
A.5. Multiplication des nombres complexes.
Exemple. Calculer (– 3 + 2i)(5 – 4i).
A.6. Conjugué d’un nombre complexe.
Définition. Soit z le nombre complexe a + bi.
On appelle conjugué de z et on note z le nombre z = a – bi.
Exemple.
Soit z = - 2 + i.
Écrire z .
Remarque. Les points images de z et de z sont symétrique par rapport à l’axe réel.
Propriété 1. Soit z et z’ deux complexes.

z + z’ = z + z’ .

z . z’ = z . z’ .
Propriété 2. Soit z = a + bi un nombre complexe, alors z z = a2 + b2.
Le produit d’un complexe par son conjugué est un nombre réel.
Exemple. Soit z = - 2 + i. Calculer z z
A.7. Calcul de l’inverse d’un nombre complexe.
Règle de Calcul. Pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse Error!
d’un nombre complexe non nul z, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le
conjugué du dénominateur :
Posons z = a + b i, z  0 alors Error! = Error! = Error! = Error! – Error! i.
Exemple. Calculer l’inverse de 2 – 3i.
A.8. Calcul d’un quotient.
Règle de Calcul. Pour effectuer le quotient de deux nombres complexes, on multiplie le
numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple. Soit z = – 2 + i et z’ = 3 + 2i, calculer Error! .
B. Forme trigonométrique d’un nombre complexe.
B.1. Module et argument.
Le module et l’argument d’un nombre complexes z sont les coordonnées polaires du point M
représentant z dans le plan complexe.
Définition.
Soit z = a + bi un nombre complexe non nul et M le
 
point d’affixe z dans un repère orthonormal (O, ;u, ;v
).
- On appelle module du nombre complexe z et on
note │z│ le nombre égal à la distance OM.

│z│= OM = ║
;OM ║ .
-

;v
O
;u
On appelle argument du complexe non nul z, et on
note arg(z), tout nombre de la forme  + k  2, où

 est une mesure en radian de l’angle ( ;u ,

;OM) et k un nombre entier relatif .
Remarque. Le module d’un nombre complexe étant une distance est nécessairement un
nombre positif.
Exemple 1. Déterminer le module et l’argument du nombre complexe z = 2 + 2i.
Exemple 2. Représenter dans le plan complexe le point A(zA) tel que │zA│= 2 et arg(zA) =
Error!.
B.2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.
Soit z = a + bi.
 Calcul du module.
│z│= OM = r =
a2 + b2 =
zz
 Détermination d’un argument.
Soit N le point d’intersection de la demi droite [OM) avec
le cercle trigonométrique. On a :





;OM= r
;ON ;Or
;ON (cos ;sin )

;OM (r cos ;r sin ).
Conséquences :
 cos  = Error! = Error! = Error! et sin  = Error! = Error! =
Error!
 z = a + ib = r cos  + ir sin  = r(cos  + i sin )
À retenir.
Le nombre complexe de module r et d’argument  s’écrit : z = r (cos  + i sin ) = [r , ].
Cette écriture est la forme trigonométrique d’un nombre complexe.
B. 3. Passage d’une forme à l’autre.
Exercice 1.
Soit les nombres complexes z1 = – 1 + i 3 et z2 = –3 donnés sous leur forme
algébrique
Déterminer leur forme trigonométrique.
Exercice 2.
Soit les nombres complexes
trigonométrique
z3 = Error! et
z4 = Error! donnés sous leur forme
Déterminer leur forme algébrique.
B.4. Module et argument d’une différence.
B.4.1. Module et distance. Soit M et M’ deux points d’affixes respectives z et z’ alors :


Le vecteur
;MM’ a pour affixe z’ – z et  z’ – z = ║
;MM’║ = MM’.
Preuve.
Posons z = a + bi et z’ = a’ + b’i.

;MM’
M (a ; b);M’(a’ ; b’)} 
(a’ – a;b’ - b)
autrement dit :
le vecteur

;MM’ a pour affixe a’- a + (b’ - b)i =
z’ – z.


Plaçons le point N tel que
;ON =
;MM’.





;ON =
;MM’ ;
;MM’( z’ – z) 

;ON( z’ – z) et N (z’ – z).
Conclusion :

;MM’ =

;ON 
MM’ = ON ; ; ON = z’ – z } MM’=║
(a’- a)2 + (b’ - b)2

;MM’║ = z’ – z =
Exercice. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que | z – (1 + i) | = 3.
B.4.2. Argument et angle de vecteur.

Soit M et M’ deux points d’affixes respectives z et z’ alors arg( z’ - z ) est une mesure de l’angle( ;u ,

;MM’)
Preuve.
Nous avons vu que le vecteur
– z.

;MM’ a pour affixe z’
Soit N le point d’affixe z’ – z.
On a bien sur :

;ON =

;MM’.
Tout argument  de z’ – z est une mesure de l’angle

( ;u ,

;ON),

c’est aussi une mesure de l’angle ( ;u ,
Exercice.

;MM’).
 
Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, ;u, ;v), on considère le point A d’affixe 1 –
2i
Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que : arg (z – (1 – 2i)) = Error! + k , k 
.
C. Calculs sous forme trigonométriques.
C.1. Produit de deux nombre complexes.
Soit z = [ρ , θ] = ρ (cos θ + i sin θ) et z’ = [ρ’ , θ’] = ρ’ (cos θ’ + i sin θ’) deux complexes non
nuls.
zz' = ρ (cos θ + i sin θ) × ρ’ (cos θ’ + i sin θ’) = ρ ρ’(cos θ + i sin θ)(cos θ’ + i sin θ’)
= ρ ρ’(cos θ cos θ’ + i sin θ cos θ’ + i sin θ’ cos θ + i2 sin θ sin θ’)
= ρ ρ’[cos θ cos θ’ – sin θ sin θ’ + i(sin θ cos θ’ + sin θ’ cos θ)]
= ρ ρ’[cos(θ + θ’) + i sin(θ + θ’)]
= [ρ ρ’ , θ + θ’]
Théorème : z et z’ étant deux complexes non nuls
●
|zz’| = ρ ρ’ = | z | × | z’|
●
arg (zz’) = θ + θ’ + 2k = arg(z) + arg(z’) + 2k, k   .
Exercice : Soit les nombres complexes z1 = Error! et z2 = Error!.
Déterminer le module et l’argument de z1z2.
C.2. Puissance d’un nombre complexe.
Théorème : n étant un entier naturel et z un nombre complexe non nul.
●
| zn | = | z |n
●
arg(zn) = n arg(z) + 2k, k  
C.3. Inverse d’un nombre complexe.
Soit z = [ρ , θ] = ρ (cos θ + i sin θ) un complexe non nul.
Error!
= Error! = Error! × Error! = Error! × Error!
= Error! × [cos(– θ) + i sin(– θ)]
= Error!
Théorème : soit z un complexe non nul.
●
Error! = Error! = Error!
●
arg Error! = – θ + 2k = – arg(z) + 2k, k  
Exercice : Soit le nombre complexe z = Error!. Calculer Error! sous forme trigonométrique.
C.4. Quotient de deux nombres complexes.
Soit z = [ρ , θ] = ρ (cos θ + i sin θ) et z’ = [ρ’ , θ’] = ρ’ (cos θ’ + i sin θ’) deux complexes non
nuls.
Error! = z × Error! = [ρ , θ] × Error! = Error!
Théoréme :
●
Soit z et z’ deux complexes non nuls.
Error! = Error! = Error!
arg Error! = θ – θ’ + 2k = arg(z) – arg(z’) + 2k, k  .
●
Exercice :
Soit les nombres complexes z1 = 2 + 2i et z2 = 3 + i.
Mettre z1, z2 puis Error! sous forme trigonométrique.
D. Notation exponentielle.
Le célèbre mathématicien Euler s’est amusé à comparer les règles de calculs sur les complexes
de module 1 et celle sur les puissances d’un réel a non nul et a remarqué des similitudes
troublantes, en effet :
z = [1, θ] et z’ = [1, θ’]
a réel non nuls, n et m entiers relatifs
z.z' = [1, θ] . [1, θ’] = [1, θ + θ’]
an.am = an + m
zn = [1, θ]n = [1 , nθ]
(an)m = anm
Error! = Error! = [1, – θ]
Error! = a– n
Error! = Error! = [1, θ – θ’]
Error! = an – m
Ces propriétés se ressemblent encore plus si on essaye de les traduire en français.
Prenons celles de la première ligne par exemple.
Le produit de deux complexes de module 1 est un complexe de module 1 qui a pour
argument la somme des arguments.
Le produit de deux puissances de a est une puissance de a qui a pour exposant la somme des
exposants.
Les deux règles de calculs sont similaires :
Complexe de module 1 correspond a puissance de a.
Argument correspond à exposant.
Euler décide de noter z = [1, θ] par z = eiθ d’où eiθ = cos θ + i sin θ.
A Retenir : Tout complexe non nul z = [ρ , θ] = ρ(cos θ + i sin θ) = ρeiθ
Remarque : En utilisant l’écriture exponentielle on retrouve facilement les résultats du
paragraphe précédent.
z.z' = [ρ, θ] . [ρ’, θ’] = [ρρ’, θ + θ’]
z.z' = ρeiθ.ρ’eiθ’ = ρρ’ei(θ + θ’)
zn = [ρ, θ]n = [ρn , nθ]
zn = (ρeiθ)n = ρneinθ
Error! = Error! = Error!
Error! = Error! = Error! e– iθ
Error! = Error! = Error! ei(θ – θ’)
Error! = Error! = Error!
E. Formule de Moivre. Formules d’Euler.
E.1. Formule de Moivre.
Soit z un nombre complexe de module 1. On a : z = [1, θ] = eiθ
zn = (cos θ + i sin θ)n = (eiθ)n = einθ = cos (nθ) + i sin (nθ).
À retenir :
Soit θ un nombre réel et n un entier naturel,
(cos θ + i sin θ)n = cos (nθ) + i sin (nθ).
(Formule de Moivre)
E.2. Formules d’Euler.
eiθ = cos θ + i sin θ ;
e– iθ = cos (– θ) + i sin (– θ) = cos θ – i sin θ
En additionnant et en soustrayant membre à membre on obtient :
En ajoutant
En retranchant
cos θ + i sin θ = eiθ
cos θ – i sin θ = e– iθ
cos θ + i sin θ = eiθ
cos θ – i sin θ = e– iθ
2 cos θ = eiθ + e– iθ
cos θ = Error!
2isin θ = eiθ – e– iθ
sin θ = Error!
Ce sont les formules d’Euler.
Utilisation: linéarisation des polynômes trigonométriques.
Exemple 1. Linéariser P(x) = cos3x sin 5x
Exemple 2. Linéariser P(x) = sin3x