∑ ∑

Formulaire de probabilités 1. Formules de calcul des probabilités Formules de base P( AC ) = 1 − P( A)
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) P ( A ∪ B ) = 1 − P ( AC ∩ B C )
Formules de calcul combinatoire Anm =
Pn = n!
n!
(n − m)!
Cnm =
n!
(n - m)!m!
0! = 1! = 1 n! = n . (n - 1) . (n − 2) . ... 1
Probabilité conditionnelle :
P( A B) =
P( A ∩ B)
P( B)
Probabilités composées P( A ∩ B) = P( A B) P( B) = P( B A) P( A)
Indépendance :
A et B sont indépendants ssi P(A ! B) = P(A).P(B) P( A B) P( B)
P( A)
Formule de Bayes : P( B A) =
C
Probabilités totales : P( A) = P( A B) P( B) + P( A B ) P( BC ) Et si B1, B2... Bk forment un système contradictoire d’événements: k
k
i =1
i =1
P( A) = ∑ P( A ∩ Bi ) = ∑ P( A Bi ) P( Bi )
2. Variables aléatoires : généralités Moyenne ou espérance mathématique d’une variable discrète : µ = E ( X ) =
k
∑ x P( X = x ) i
i
i =1
Variance et déviation standard d’une variable discrète : k
σ 2 = V ( X ) = E (( X − µ ) 2 ) = ∑ ( xi − µ ) 2 P( X = xi ) et σ = V(X) i =1
Coefficient de corrélation ρ ρ=
E (( X − µ X )(Y − µY ))
σ XσY
=
cov(X, Y)
σ XσY
où − 1 ≤ ρ ≤ 1 Espérance et variance de fonctions linéaires de variables aléatoires : E (a + bX ) = a + bE ( X ) et V (a + bX ) = b 2V ( X )
E (aX + bY ) = aE ( X ) + bE (Y )
V (aX + bY ) = a 2V ( X ) + b 2V (Y ) si X et Y sont deux v.a. indépendantes 3. Variables aléatoires : lois classiques Nom Uniforme discrète X ~ UD(a,k) Bernoulli X ~ Be(π) Binomiale X ~ Bi(n, π) Uniforme Continue X ~ U(a,b) Normale Réduite Z ~ N(0,1) Normale X ~ N(µ,σ²) Valeurs possibles ou Domaine x = a, a+1, ...,a+(k-­‐1) P(X=x) ou densité 1/k
Moyenne E(X) a+(k-­‐1)/2 Variance V(X) 2
(k -­‐1)/12 π x (1 − π )1− x π π (1-­‐π) x = 0, 1, 2, .....,n Cnxπ x (1 − π ) ( n− x ) nπ nπ(1-­‐π) Domaine = [a,b] f(x) = 1/(b-­‐a) (a+b)/2 (b-­‐a)²/12 0 1 µ σ² x = 0, 1 Domaine = R =]-­‐∞,+∞[ Domaine = R =]-­‐∞,+∞[ 1
f ( z) =
f ( x) =
2π
1
2π σ
e
e
−
−
z2
2
( x−µ )2
2σ 2
4. Calcul de probabilité sur une variable aléatoire Normale Soient X une variable aléatoire Normale quelconque N(µ,σ2) et Z la variable aléatoire normale réduite N(0,1) Intervalle dans lequel on trouve 95% de la population liée à X : [µ − 1.96σ , µ + 1.96σ ] Standardisation Z
=
X −µ
σ
Transformation inverse à la standardisation X
= µ + Zσ x − µ ⎞
⎛
≤ x) = P⎜ Z ≤
⎟ σ ⎠
⎝
Calcul du percentile xp tel que P ( X ≤ x p ) = p : x p = µ + z pσ Calcul d’une probabilité P ( X
5. Combinaison linéaire de variables aléatoires Normales Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes N(µ1,σ12) et N(µ2,σ22), a + bX1 + cX 2 est N (a + bµ1 + cµ 2 , b2σ 12 + c2σ 22 ) Soient X1, X2..... Xn n variables aléatoires N(µ,σ2) indépendantes n
Sn = ! Xi est N (nµ , nσ 2 ) et X =
i=1
1 n
σ2
est X
∑ i N (µ , n ) n i =1
6. Somme et moyenne de variables aléatoires iid -­‐ Théorème central limite Soient X1, X2, ... Xn n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) de moyenne µ et de variance σ2 n
Sn = ! Xi est approximativement une N (nµ , nσ 2 ) quand n est grand i=1
X=
1 n
σ2
e
st a
pproximativement u
ne X
N
(
µ
,
) quand n est grand. ∑ i
n i=1
n
7. Théorème central limite appliqué à la variable aléatoire Binomiale Une v.a. X de distribution binomiale Bi(n,π) est approximativement une N(nπ,nπ(1-­‐π)) si n est grand (nπ ≥ 5 et n(1-­‐π) ≥ 5). Un calcul de probabilité sur X s’effectue alors comme suit : P( X ≤ x) ≅ P( X Norm ≤ x + 0.5) = P(Z ≤
x + 0.5 − nπ
) nπ (1 − π )
où XNorm est N(nπ,nπ (1-­‐π)) et Z est N(0,1). 8. Graphique récapitulatif des relations entre variables aléatoires