TD3 - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie
UE LM345 – Probabilités élémentaires
Licence de Mathématiques L3
Année 2014–15
TD3. Variables aléatoires discrètes et suites
d’événements.
1. Dans une population de n oiseaux, on en capture m que l’on bague puis que l’on
relâche. Un peu plus tard, on en capture à nouveau m.
a) Soit k ∈ {0, . . . , n}. Quelle est la probabilité que parmi les m oiseaux capturés, k
soient bagués ?
b) Pour quelle valeur de k la probabilité calculée ci-dessus est-elle maximale ?
2. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Pour tout n ≥ 0, on note pn = P(X = n)
et on suppose pn > 0. Soit λ > 0 un réel. Montrer que les deux assertions suivantes sont
équivalentes.
1. La variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre λ.
λ
pn
= .
2. Pour tout n ≥ 1, on a
pn−1
n
3. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N admettant une espérance E[X]. Montrer
qu’on a l’égalité
X
E[X] =
P(X ≥ n).
n≥1
4. Soient X, Y : (Ω, F , P) → R deux variables à valeurs dans N. Montrer de deux façons
différentes que
X
X
X
nP(X = n) +
nP(Y = n) =
nP(X + Y = n).
n≥0
n≥0
n≥0
5. On étudie des variables aléatoires qui ont une propriété d’absence de mémoire. Soit T
une variable aléatoire à valeurs dans N. On suppose que pour tous n, m ≥ 0 entiers, on a
P(T ≥ n + m) = P(T ≥ n)P(T ≥ m).
Que peut on dire sur la loi de T ?
1
6. On considère l’espace de probabilités ([0, 1[, B[0,1[ , Leb). Pour tout n ≥ 1, on définit
une variable Xn à valeurs réelles en posant
∀x ∈ [0, 1[, Xn (x) = b2{2n−1 x}c.
a) Représenter le graphe de X1 , X2 , X3 vues comme fonctions de [0, 1[ dans R.
b) Déterminer la loi de Xn pour tout n ≥ 1.
P
c) Soit n ≥ 1 un entier. Soient ε1 , . . . , εn ∈ {0, 1}. On pose a = nk=1 2−k εk et b =
a + 2−n . Montrer que
{x ∈ [0, 1[: X1 (x) = ε1 , . . . , Xn (x) = εn } = [a, b[.
En déduire la loi de la variable aléatoire (X1 , . . . , Xn ) à valeurs dans {0, 1}n .
La suite des variables aléatoires (Xn )n≥1 , définie sur l’espace de probabilités ([0, 1[, B[0,1[ , Leb),
constitue donc un jeu de pile ou face infini.
7. Un chimpanzé tape à la machine à écrire en appuyant chaque seconde sur une touche
choisie au hasard. Quelle est la probabilité qu’il parvienne à écrire Hamlet, c’est-à-dire
qu’à un certain moment il écrive d’une traite le texte de cette pièce ?
8. Soit Ω un ensemble. Soit (Xn )n≥1 une suite de fonctions à valeurs entières définies sur
Ω.
a. Décrire en français et sans utiliser les expressions "quelque soit" ni "il existe" les parties
suivantes de Ω :
[[\
A=
{ω ∈ Ω : a ≤ Xn (ω) ≤ b},
a∈N b∈N n≥1
B=
[ \ \
{ω ∈ Ω : Xn (ω) − Xm (ω) ≥ 0},
N ≥1 n≥N m≥n
C=
[ \ [ [ k≥1 N ≥1 n≥N m≥N
1
ω ∈ Ω : |Xn (ω) − Xm (ω)| >
k
.
b. Faire l’opération de traduction inverse pour les parties suivantes de Ω :
D
E
L’ensemble des ω ∈ Ω tels que la suite (Xn (ω))n≥1 ...
... ne soit pas bornée supérieurement,
... tende vers +∞,
9. Soit Ω un ensemble. Soit (An )n≥1 une suite de parties de Ω. Déterminer les relations
d’inclusion qui existent toujours entre les parties suivantes de Ω :
\ [
[
\
[ \
An ,
An ,
An ,
An , Ω, ∅.
N ≥1 n≥N
N ≥1 n≥N
n≥1
n≥1
Montrer par un exemple que ces six parties peuvent être deux à deux distinctes.
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