03 - Trigonométrie dans le triangle rectangle

Chapitre 3 : Trigonométrie dans le triangle rectangle
I. Rappel sur Pythagore
Exercice 1
ABCD est un rectangle de longueur AB = 7 cm et de largeur AD = 4 cm. Calculer la longueur de sa
diagonale AC.
Exercice 2
Calculer la longueur de la diagonale d’un carré de coté 6 cm.
Exercice 3
Le triangle RST est tel que RS = 3,9 cm, ST = 6,5 cm et TR = 5,2 cm.
Le triangle RST est-il rectangle ?
Exercice 4
Dans le triangle ABC, H est le pied de la hauteur issue de A. On donne AB = 25 cm, AC = 17 cm et
CH = 8 cm.
1. Calculer AH puis BH.
2. Calculer l’aire du triangle ABC.
3. Le triangle ABC est-il rectangle ?
II. Cosinus sinus et tangente d’un angle aigu
1. Vocabulaire
On considère un triangle ABC rectangle en B.
!
•
•
•
⎡⎣ AC ⎤⎦ est le côté le plus long : c’est l’hypoténuse du triangle ABC.
!.
⎡⎣ AC ⎤⎦ est le côté adjacent à l’angle BAC
!.
⎡⎣ BC ⎤⎦ est le côté opposé à l’angle BAC
Faire de même pour le deuxième angle aigu du triangle.
3ème
Chapitre 3 : Trigonométrie dans le triangle rectangle
L’angle BAC est un angle aigu de ce triangle.
1
2. Définition
•
Cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
•
Sinus
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
•
Tangente
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent.
Remarque
On retiendra la formule : CAH-SOH-TOA
Exercice 5
!
Dans le triangle RUN rectangle en U, on donne : UN = 4 cm et URN = 65° .
1. Calculer RU.
2. Calculer RN.
!
III. Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente d’un angle aigu
1. Propriétés du cosinus et du sinus
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des nombres strictement compris entre 0 et 1.
a désigne la mesure d’un angle aigu, on a :
0 < cos a < 1 et
0 < sin a < 1 .
2. Propriété de la tangente
La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.
a désigne la mesure d’un angle aigu, on a : 0 < tan a
3ème
Chapitre 3 : Trigonométrie dans le triangle rectangle
3. Calculer l’angle RNU en utilisant un cosinus.
2
3. Relations trigonométriques
a désigne la mesure d’un angle aigu, on a :
⎡cos ( a ) ⎤ + ⎡sin ( a ) ⎤ = 1
⎣
⎦ ⎣
⎦
2
2
()
tan a =
et
sin ( a )
cos ( a )
.
Applications
()
On donne cos a =
2
.
3
()
2. En déduire la valeur exacte de tan ( a ) .
1. Calculer la valeur exacte de sin a .
()
1
2
.
Chapitre 3 : Trigonométrie dans le triangle rectangle
3. Reprendre les questions précédentes lorsque sin a =
3ème
3