Chapitre 05 – Les nombres complexes

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 05 – Les nombres complexes
Première partie
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O; Ä
OI ; Ä
OJ ), appelé plan complexe.
Dans tout ce chapitre, a et b désignent des réels.
I. Forme algébrique d’un nombre complexe
1. Forme algébrique d’un nombre complexe. Affixe d’un point du plan.
Interprétation graphique :
Définitions :
A tout point M de coordonnées ( a;b), on convient d’associer le nombre complexe
unique noté zM qui s’écrit zM =a+ ib.
Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ ib, on convient d’associer dans le
plan un point M et un seul de coordonnées ( a;b).
L’ensemble de tous les nombres complexes est noté C.
I
L’écriture z=a+ ib avec a et b réels est appelée forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z et on note a=Re( z)
On dit que le point M de coordonnées ( a;b) a
pour affixe le nombre complexe zM =a+ ib.
b est la partie imaginaire de z et on note b=Im( z)
On dit que le point M est l’image de zM .
Cas particuliers :
• Si z est un réel, son point image se situe sur
• Si Im( z)=0, alors z=a+ i×0 cad z=a.
l’axe des abscisses (ou axe des réels).
Ainsi, tout nombre réel est un nombre complexe (IR┤ C)
I
• Si z est un imaginaire pur, son point image
• Si Re( z)=0, alors z=ib. On dit que z est imaginaire pur.
se situe sur l’axe des ordonnées (ou axe des
imaginaires purs)
Remarques :
a=a′
• Si zM =a+ ib et zM′=a′+ ib′ alors : M=M′ñ zM = zM′ ñ 
b=b′
• On ne peut pas comparer deux nombres complexes.
2. Affixe d’un vecteur.
Définition :
Interprétation graphique :
A tout vecteur Å
u de coordonnées 
a
 b , on convient d’associer le nombre complexe
unique noté z Åu qui s’écrit z Åu =a+ ib.
Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ ib, on convient d’associer dans le
plan le vecteur Å
u de coordonnées 
a
 b .
On dit que z Åu =a+ ib est l’affixe du vecteur Å
u de coordonnées 

 b .
Remarque : z Åu = z Åv ñ Å
u= Å
v
a
z Åu =zÄ
OM=zM
Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie
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3. Opposé d’un nombre complexe.
Définition :
Interprétation graphique :
Soit M un point d’affixe z=a + ib.
L’opposé du nombre complexe
•
z=a+ ib est le nombre complexe, noté
L’opposé de z, noté –z est l’affixe du
–z égal à –a−ib
point Q(- a;- b), symétrique de M par
rapport à l’origine O.
•
Soit Å
u d’affixe z Åu =a+ ib.
a
 -a 
Å
 b  donc – u a pour coordonnées  - b  et pour affixe
Ainsi Å
u a pour coordonnées 
le complexe z- uÅ=- a−ib. On retiendra z- uÅ=- z Åu
II.
Règles de calculs dans CI
Interprétation graphique :
Somme:
z+ z′=( a+ ib)+( a′+ ib′)=( a+ a′)+ i(b+ b′)
Remarque :
z′−z= z′+(- z)
• Soit Å
u et Å
v deux vecteurs d’affixes respectifs z Åu =z et z Åv =z′.
a   a′ 
 b  et  b′ .
Alors Å
u et Å
v ont pour coordonnées respectives 
Donc le vecteur Å
u+ Å
v a pour coordonnées 
a+ a′ 
 b+ b′ 
=( a′+ ib′)+(- a−ib)=( a′−a)+ i( b′−b)
donc pour affixe z Åu + Åv =a+ a′+ i(b+ b′). Ainsi z Åu + z Åv =z uÅ+ Åv
• Soit M et N deux points d’affixes respectives zM =z et zN =z′.
Alors M( a;b) et N( a′;b′) donc Ä
MN b′− b .
a′− a
Donc Ä
MN a pour affixe zÄ
MN =( a′−a)+ i( b′−b)=a′+ ib′−( a+ ib).
Ainsi zÄ
MN =zN −zM
Produit d’un nombre complexe par un réel k:
kz=k( a+ ib)==ka+ ikb
Interprétation graphique :
• Soit Å
u d’affixe z Åu =z
Alors Å
u a pour coordonnées 
a
ka
Å 
 b  donc k u  kb  a pour affixe zk uÅ
=ka+ ikb. Ainsi zk uÅ=kz uÅ .
• Soit M et P d’affixes respectives zM =z et zP =kz.
Alors zÄ
= zP =kz= kzM = kzÄ
=zk Ä
d’où Ä
OP =k Ä
OM.
OP
OM
OM
D’où P est l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k .
Produit de deux nombres complexes :
Interprétation graphique :
Cas particuliers :
Soit P( a;0) d’affixe zP =a
•
Produit d’un réel par i:
La multiplication d’un nombre réel par i
correspond à une rotation de centre O et d’angle
π
2
Soit Q(0;a) d’affixe zQ =ia=izP
Alors OP=OQ et (Ä
OP ; Ä
OQ )= π (2π)
2
Donc Q est l’image de P par la rotation r de centre O et d’angle π
2
Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie
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•
Soit J(0;1) d’affixe zJ =i
Produit d’un imaginaire pur par i
On convient que la multiplication d’un imaginaire pur
Alors K d’affixe zK =izJ =i 2 est l’image de J
par i correspond aussi à une rotation r de centre O et
par la rotation r de centre O et d’angle π . Or
2
d’angle π
2
ce point a pour coordonnées (-1;0) et donc
Généralisation :
d’affixe -1. Ainsi on obtient i 2=-1
zz′=( a+ ib)(a′+ ib′)=aa′+iab′+ ia’b+i 2bb′.
Or i 2=-1 donc zz′=aa′−bb′+i( ab′+ba′)
Aucune interprétation géométrique
Inverse d’un nombre complexe :
Tout nombre complexe z non nul admet un inverse,
Aucune interprétation géométrique
1
1
noté =
z
a+ ib
Quotient de deux nombres complexes :
Si z est un nombre complexe non nul, on définit le
Aucune interprétation géométrique
z′
1
quotient par z′×
z
z
Conséquences :
Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives zA , zB et zC .
z +z
1 Ä Ä
OA + OB ) donc a pour affixe zI = A B
(
2
2
•
Le point I milieu de [ AB] est tel que Ä
OI =
•
G barycentre de ( A,α),( B,β),( C,γ) est tel que Ä
OG=
zG =
•
1
OA + β Ä
OB + γ Ä
OC ) donc a pour affixe
(α Ä
α+ β+ γ
αzA + βzB + γzC
α+ β+ γ
Méthode pour démontrer que trois points A, B et C d’affixes respectives zA , zB , zC sont alignés :
On considère les vecteurs Ä
AC et Ä
AB d’affixe zC − zA et zB − zA et en calculant k=
zC − zA
, on montre que k☻IR.
zB − zA
On peut en déduire ainsi que zC − zA = k ( zB − zA ) donc que Ä
AC = k Ä
AB
Ainsi les vecteurs Ä
AC et Ä
AB sont colinéaires et donc les points A, B et C sont alignés.
Remarque : même méthode pour montrer le parallélisme de deux droites.
III.
Conjugué d’un nombre complexe
Définition :
•
Soit M d’affixe z=a+ ib.
Le conjugué du nombre complexe z=a+ ib
Son symétrique M′ par rapport à l’axe des
est le nombre complexe a−ib noté Ò
z.
abscisses a pour affixe le conjugué de z cad
Ò
z =a−ib.
Remarques :
•
z=z′ ñ Ò
z =¯
z′
•
Les symétriques par rapport à l’axe des abscisses de deux points
confondus sont confondus.
•
Le conjugué de Ò
z est z cad Ò
z =z
•
Si M′ est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses alors le
symétrique de M′ est M.
Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie
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Opérations sur les nombres conjugués :
Soient z=a+ ib et z′=a′+ ib′ alors Ò
z =a−ib.. Soit z′=a′+ ib′ donc son conjugué est ¯
z′ =a′−ib′.
Ainsi,
•
z+ Ò
z =2Re( z).
Conséquence : z est imaginaire pur ñRe( z)=0 ñ z+ Ò
z =0 ñz=- Ò
z
•
z− Ò
z =2iIm (z).
Conséquence : z est réel Im ( z)=0ñ z-Ò
z =0 ñz=Ò
z
•
zÒ
z =( a+ ib) ( a−ib) =a 2 + b 2 .
Remarque : zÒ
z ☻IR
•
z +¯
z′
Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués : z+ z′ = Ò
•
Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : zz′ = Ò
z ׯ
z′
•
Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués : si zý0,
z′
 z′  = ¯
z
Ò
z
Application du nombre conjugué : obtenir la forme algébrique d’un inverse ou d’un quotient :
Pour obtenir la forme algébrique de
1
z′
ou , on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z
z
z
(afin de rendre réel le dénominateur)
IV.
Equations du second degré dans CI à coefficients réels
Soit l’équation az 2+ bz+ c=0 d’inconnue complexe z et où a, b et c sont des nombres réels avec a non nul.
Le discriminant de cette équation est le réel ∆= b 2−4ac.
- b− ∆
- b+ ∆
et z2=
.
2a
2a
•
Si ∆>0 alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : z1=
•
Si ∆=0 alors l’équation admet une solution réelle double : z0=-
•
Si ∆<0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : z1=
V.
b
.
2a
- b−i - ∆
- b+ i - ∆
et z2=
2a
2a
Exercices
Pour tous ces exercices, lorsque c’est nécessaire, le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O;I;J)
Exercice 1
1.
Par lecture graphique, déterminer l’affixe de chacun des points E, F,
G, H et K.
2.
Pour chaque nombre complexe zK suivant, indiquer sa partie réelle, sa
partie imaginaire puis placer son point image MK dans le repère
orthonormal direct ci-contre :
z1=3+2i;
z2 =-3i;
z3=3i;
z4=0;
z5=-2−i
Exercice 2
A chaque nombre complexe z s’écrivant x+ iy, où x et y sont des réels quelconques, on associe le nombre complexe Z=3x−y+ i
Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que Z soit imaginaire pur. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z
vérifiant la condition précédente.
Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie
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Exercice 3
1.
Mettre sous forme algébrique chaque nombre complexe suivant puis identifier sa partie réelle et sa partie imaginaire :
z1=2+3i−4(3+5i) ; z2= 1 −4i −(3−2i) ; z3=(5−i)(7+4i) ; z4=(3−4i)(3+4i) ; z5=(2+3i)
2
2.
Donner la forme algébrique de
6
2

1 3 4
, i , i et i 327.
i
8
3. Calculer (1+ i) et (1+ i)
Exercice 4
1.
2.
On donne F (4;0), G(3;-1) et H(-2;1). Déterminer les affixes des vecteurs Ä
OF , Ä
OG et Ä
OH.
On considère les points A, B, C et I de coordonnées respectives (1;-3), (4;5), (-3;2) et (0;10).
(a) Quelles sont les affixes des points A, B et C et des vecteurs Ä
AB , Ä
AC et Ä
BC .
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
(b) Soit D et E les points tels que AD =2 AB + AC et 3 BE = BC .
Déterminer l’affixe de chacun des points D et E.
(c) Démontrer que A, D et E sont alignés.
(d) Démontrer que ( AB) et ( CI) sont parallèles.
Exercice 5
Soient A, B, C, A′, B′, C′ d’affixes respectives zA =1−i, zB =2+3i, zC =3+ i, zA′=-1+3i, zB′=3−i et zC′=4+ i.
Ä Å
1. Montrer que Ä
AA′+ Ä
BB′+ CC′=
0.
2.
Montrer que les centres de gravité G et G′ des triangles ABC et A′B′C′ sont confondus.
Exercice 6
Méthode : Pour résoudre une équation avec un nombre complexe z et son conjugué Ò
z , il faut écrire sous forme algébrique z=x+ iy
(et donc Ò
z =x−iy) et résoudre alors un système d’équation d’inconnues x et y.
1.
2.
Résoudre dans CI l’équation : z 2−2Ò
z +1=0
Résoudre dans CI l’équation : 2iz+(1−i) Ò
z +2=0
Exercice 7
-5+ i
1
; z2=
3+2i
4−3i
1.
Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : z1=
2.
Mettre sous forme algébrique le conjugué Ò
z du complexe z dans chacun des cas suivants :
(a) z=3−4i
(b) z=
1
1−i
(c) z=
3−i
1+ i
Exercice 8
Soit f la fonction définie pour zý-3i par f( z)=
1.
2.
z−1+ i
. On pose z=x+ iy où x et y sont réels.
3−iz
Ecrire f( z) sous forme algébrique.
*Démontrer alors que l’ensemble des points M d’affixe z tels que f( z) soit réel est un cercle privé d’un point dont on
précisera le centre et le rayon.
Exercice 9
Résoudre dans CI les équations suivantes :
z 2+2z+6=0 ;
9z 2−6z+1=0
Exercice 10
1.
(a) Déterminer les réels a, b et c tels que z 3−2z 2+ z−2=( z−2)( az 2+ bz+ c ) .
(b) Résoudre alors dans C,
I z 3−2z 2+ z−2=0.
2.
Résoudre dans CI l’équation 2z 4+3z 2−2=0 (Aide : poser Z=z 2)
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