Transformations du plan et de l`espace affine euclidien

Chap 42
Transformations du plan et de l’espace affine
euclidien
1
1.1
Isométries d’un espace affine euclidien
Espace affine, applications affines
Rappel.
Propriété.
Définition. Soit f : E Ñ E. On dit que f est une application affine si et seulement si il existe ϕ P LpE q tel
que :
@A P E, @~x P E, f pA ~xq f pAq ϕp~xq
ϕ est unique et s’appelle la partie linéaire de f .
Remarque.
Propriété. Les applications affines sont de la forme :
f
t~u ϕ
où t~u est une translation de E et ϕ P LpE q.
Exemple. Soit E R3 muni du repère pO; p~ı, ~, ~k qq, c’est-à-dire que O est l’origine de notre espace affine, et
p~ı, ~, ~kq une base de l’espace vectoriel E R3 sous-jacent. Soit f et g dont les expressions analytiques sont :
$
1
'
&x
3
1
y 2x
'
% 1
z 1
x 2y z
y 2z
x 2y z
$
1
'
&x
2
xy z
y 1 cos x sin y tan z
'
% 1
z 3 x2 y 2 z 2
Sont-elles des applications affines ? Si oui, quelles sont leurs parties linéaires ?
Exemple. On reprend les mêmes notations. Soit B p1, 2, 3q. Donner l’expression analytique de la transformation
affine h telle que hpOq B et de partie linéaire ϕ 3IdE .
Exemple. Montrer qu’une homothétie du plan est une transformation affine. Quelle est sa partie linéaire ?
Propriété. Une application affine f de partie linéaire ϕ est injective (resp. surjective) si et seulement si ϕ l’est.
Remarque.
Propriété. Soit f affine de partie linéaire ϕ et g affine de partie linéaire ψ. Alors g f est affine de partie linéaire
ψ ϕ.
Propriété. Une application affine est une translation si et seulement si sa partie linéaire est IdE .
1.2
Isométries affines
Définition. On appelle isométrie affine de E toute application affine de E qui conserve les distances, c’est-à-dire
telle que pour tout A et B, on a :
ÝÝÑ
}ÝÝÝÝÝÝÑ
f pAqf pB q} }AB }
Théorème.
Soit E un espace affine, et f une application affine de E. Notons ϕ la partie linéaire de f .
f est une isométrie affine de E si et seulement si ϕ est un automorphisme orthogonal de E.
Remarque.
Exemple.
Définition. On appelle déplacement (resp. antidéplacement) toute isométrie affine dont la partie linéaire a
pour déterminant 1 (resp. 1).
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Chap 42 – Transformations du plan et de l’espace affine euclidien
Propriété. L’ensemble des isométries affines de E est un groupe, noté IspEq. L’ensemble des déplacements est
un groupe, sous-groupe de IspEq, noté DeppEq.
Théorème.
Deux isométries affines ont la même partie linéaire si et seulement si elles sont égales à une translation
près, c’est-à-dire s’il existe un vecteur ~u tel que f t~u g.
Exemple.
Remarque.
Résultat. Lorsqu’il n’y a pas de point fixe, f se décompose de manière unique et commutative en
f
tg gt
où g est une isométrie affine admettant au moins un point fixe, et t une translation de vecteur ~v , avec v
Ker pϕ IdE q.
1.3
P
Conservation du barycentre
Théorème.
Les isométries affines préservent le barycentre, c’est-à-dire que si G est le barycentre du système de
points pondérés tpAi , αi qu, alors f pGq est le barycentre du système de points pondérés tpf pAi q, αi qu.
Remarque.
2
2.1
Isométries affines du plan
Étude des déplacements
Définition. On appelle rotation de centre Ω et d’angle θ l’unique application affine dont la partie linéaire
est la rotation (vectorielle) d’angle θ et qui laisse fixe le point Ω. C’est une isométrie affine (puisque la rotation vectorielle est un automorphisme orthogonal) directe (puisque la rotation est directe). C’est donc un
déplacement.
Remarque. Soit f rpΩ, θq, M, M 1 P E. Alors :
M1
f pM q ðñ
$
&ΩM 1
ΩM
ÝÝÑ
{
ÝÑ
%MespÝ
ΩM , ΩM 1 q θ p2π q
Théorème (Classification des déplacements du plan).
Les déplacements du plan sont les translations et les rotations.
2.2
Étude des antidéplacements
Définition. Soit D une droite affine de E2 . On appelle réflexion d’axe D l’application affine laissant invariant
un point de D, et qui a pour partie linéaire la réflexion (vectorielle) par rapport à D, la direction de D. C’est
un antidéplacement.
Théorème (Classification des antidéplacements du plan).
Les antidéplacements du plan sont les réflexions et les réflexions glissées, c’est-à-dire les composées
commutatives d’une réflexion d’axe D et d’une translation de vecteur ~u dirigeant D.
Proposition. Étant donnés deux points distincts pA, B q, il existe une réflexion et une seule échangeant A et B.
L’axe de cette réflexion s’appelle la médiatrice du bipoint pA, B q.
Étude du produit de deux réflexions du plan. Soit D et D1 deux droites du plan affine. Alors :
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(a) Si D{{D1 , alors la composée des deux réflexions SD
vecteur orthogonal à D et D1 tel que D1 t~x pDq.
1
SD est une translation de vecteur 2~x, où ~x est le
(b) Si D et D1 se coupent en A, alors la composée des deux réflexions SD
{
d’angle 2θ où θ est l’angle défini à π près θ pD,
D1 q
1
SD est la rotation de centre A et
Remarque. On peut montrer que réciproquement toute translation et toute rotation est composée de deux
réflexions, dont l’une est choisie quelconque.
Corollaire. Le groupe IspEq est engendré par les réflexions.
Remarque. Les isométries du plans peuvent être classifiées à partir de leurs points fixes :
déplacement
translation
rotation
réflexion
réflexion glissée
antidéplacement
3
3.1
Fixpf q ∅
Fixpf q tΩu
Fixpf q D
Fixpf q ∅
Isométries affines de l’espace
Déplacements
Définition. Soit D un axe orienté de E, α P R. On appelle rotation d’axe D et d’angle α l’isométrie affine
laissant invariant un point de D et de partie linéaire RotD,α .
D
r(M )
α
M
Définition. Soit D un axe de E, α P R et ~u qui dirige et oriente D. On appelle vissage d’axe D et d’angle α
et de vecteur ~u la composée commutative t~u RotD,α .
D
f (M )
~u
α
r(M )
M
Proposition. Tout déplacement admettant au moins un point fixe est une rotation.
Lemme. Soit ~v un vecteur, D une droite et θ P R r 2π Z. Si ~v K D, alors t~v RotD,θ est une rotation.
Théorème (Classification des déplacements de l’espace).
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Chap 42 – Transformations du plan et de l’espace affine euclidien
Les déplacements de l’espace sont les translations, les rotations et les vissages.
3.2
Antidéplacements
Remarque. Leur étude générale est hors programme. Ce sont les réflexions, les réflexions glissées et les composées
réflexions/rotations.
Étude du produit de deux réflexions. Soit P et P1 deux plans.
• Si P et P1 sont parallèles, alors Ref P Ref P est la translation, de vecteur 2~u où ~u est orthogonal à P et
tel que P1 est l’image de P par t~u .
• Si P et P1 se coupent selon D, alors Ref P Ref P est une rotation d’axe D, d’angle 2p{
P, P1 q, l’angle étant
orienté par l’orientation choisie sur D.
Remarque. On peut montrer réciproquement que toute translation, toute rotation se décompose comme produit
de deux réflexions.
1
1
4
Similitudes
4.1
Définitions
Définition. Soit E le plan affine euclidien. Soit f : E Ñ E une application affine. On dit que f est une similitude
de rapport k P R si et seulement si :
@pA, B q P E2, d pf pAq, f pB qq k dpA, B q
k s’appelle le rapport de similitude.
Exemple.
(a) Une similitude de rapport 1 est une isométrie.
(b) Les homothéties de rapports k sont des similitudes de rapport |k |.
Propriété.
• La composée d’une homothétie de rapport k et d’une isométrie est une similitude de rapport |k |.
• Réciproquement, soit f une similitude de rapport k ¡ 0, et h une homothétie de rapport k. Notons
g h1 f . Alors d pg pAq, g pB qq d h1 f pAq, h1 f pB q k1 d pf pAq, f pB qq dpA, B q. Donc g est
une isométrie. Ainsi, toute similitude se décompose sous la forme f h g où h est une homothétie de
rapport k et g une isométrie.
Remarque. La partie linéaire d’une similitude satisfait
@x P E, }ϕpxq} k}x}
Définition. Soit f une similitude du plan et ϕ sa partie linéaire. On dit que f est une similitude directe si et
seulement si det ϕ ¡ 0. Elle est dite indirecte si det ϕ 0.
4.2
Similitudes directes du plan
Théorème.
Soit f une similitude directe du plan, de rapport k.
• Si k 1, alors f admet un point fixe unique Ω, et il existe θ un réel unique à 2π près, tel que :
f
• Si k
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hΩ,k RΩ,θ RΩ,θ hΩ,k
1, alors f est une translation ou une rotation.
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Chap 42 – Transformations du plan et de l’espace affine euclidien
Remarque.
Remarque. Le théorème précédent permet de dire que les similitudes directes du plan sont :
(a) Les translations
(b) Les rotations
(c) Les composées homothéties/rotations de même centre
Proposition. Les similitudes directes conservent les angles orientés, i.e. si A, B, C sont donnés et f est une
similitude directe, alors :
ÝÝÝÝÝÝÑ ÝÝÑ
ÝÑ
{
{
pÝÝÝÝÝÝÑ
f pAqf pB q, f pAqf pC qq pAB, AC q
Proposition. Les aires sont multipliées par k 2 par les similitudes de rapport k.
4.3
Rappels sur l’utilisation des nombres complexes
Théorème.
Soit f : E Ñ E. f est une similitude directe si et seulement si son expression complexe est
F pz q az b avec a P C et b P C.
Exemple. Donner l’expression complexe de la similitude directe de centre Ωp1, 1q, de rapport 2 et d’angle π4 .
Exemple. Soit f l’application affine dont l’expression complexe est F pz q 2iz 1 i. Reconnaı̂tre et caractériser.
Proposition. Soit pA, A1 q et pB, B 1 q, avec A B et A1 B 1 . Alors il existe une similitude directe et une seule
envoyant A sur A1 et B sur B 1 .
Exemple. Soit Ap0, 1q, B p3, 1q, A1 p3, 1q et B 1 p0, 4q. Déterminer la similitude correspondant au problème
ci-dessus.
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Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, déter-
#
x1 y
y 1 x
5
1
2
5
1
x1 35 x 45 y 4
y1 4 x 3 y 2
2
2
?
?
x1 23 x 12 y 4 3
?
pbq 1 1 ?3
y 2x
y
3
2
3
2
#
?
?
?
2
2
1
pdq x1 ?22 x ?22 y 2 1
x y1
y #
1
1
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ÝÝÑ
ÝÑ αp2πq,
{
Soit pA, B, C q un triangle tel que mespAB, AC q
Soit A, B, C trois points non alignés. Soit s la réflexion d’axe
42.5
Soit O et A deux points distincts, r la rotation de centre O
g. Comment faut-il choisir A, B et C pour que f soit une isométrie ?
Reconnaı̂tre et caractériser f dans ces conditions. transfplanespace_4.tex
pAC q et D spB q. Soit f l’unique application affine du plan telle que
f pAq A, f pB q C et f pC q D. Soit g s f . Soit I le milieu de
rBC s. Déterminer gpAq, gpB q, gpC q et gpI q. Reconnaı̂tre et caractériser
42.4
transfplanespace_3.tex
rpB, β q rpC, γ q et rpA, αq rpB, β q rpC, γ q
d’intersection des bissectrices du triangle. Déterminer les composées
des rotations suivantes :
ÝÝÑ
ÝÝÑ
ÝÑ
ÝÝÑ
{
{
mespBC, BAq β p2π q et mespCA, CB q γ p2π q. On note I le point
42.3
une méthode directe puis par décomposition en produit de réflexions),
montrer que le triangle pI, B 1 , C 1 q est isocèle rectangle. transfplanespace_2.tex
1
transfplanespace_1.tex
ÝÝÑ ÝÑ
42.2
Soit pA, B, C q un triangle tel que pA; AB, AC q soit un repère
direct. Soit pA1 , B, C q, pB 1 , C, Aq et pC 1 , A, B q les triangles rectangles
isocèles construits extérieurement sur pA, B, C q. Soit I le milieu de
rBC s. Soit rB et rC les rotations de centres respectifs B 1 et C 1 et
d’angle π2 .
En caractérisant la transformation rC rB de deux façons (d’abord par
pcq
pa q
#
miner la nature et les éléments caractéristiques des applications dont
les expressions analytiques sont :
42.1
Transformation du plan affine euclidien
tique :
42.10
tique :
42.9
tique :
42.8
tique :
42.7
d’angle
42.6
π
4
transfplanespace_6.tex
y0
z2
#
,
β
β
2
3z
2
3z
1
3z
2p1 β q
transfplanespace_7.tex
2
transfplanespace_8.tex
transfplanespace_9.tex
y
3
y1 x 2
'
% 1
z z
$
1
'
&x
transfplanespace_10.tex
Reconnaı̂tre et caractériser l’application d’expression analy-
z 1
y 1 x
'
% 1
z y2
$
1
'
&x
Reconnaı̂tre et caractériser l’application d’expression analy-
z
y 1 x 2
'
% 1
z y 2
$
1
'
&x
Reconnaı̂tre et caractériser l’application d’expression analy-
13 x 23 y
y 1 23 x 31 y
'
% 1
z 23 x 32 y
$
1
'
&x
Reconnaı̂tre et caractériser l’application d’expression analy-
et de vecteur 2~ı.
Écrire l’expression analytique du vissage d’axe ∆
Transformation de l’espace affine euclidien
et d’angle π2 . Quel est l’ensemble des points M tels que A, M et rpM q
sont alignés ?
transfplanespace_5.tex
Chap 42 – Transformations du plan et de l’espace affine euclidien
2010-2011
2010-2011
42.13
tique :
42.12
tique :
42.11
transfplanespace_11.tex
transfplanespace_12.tex
Reconnaı̂tre et caractériser l’application d’expression analy-
23 x 23 y 13 z 13 α
y 1 13 x 23 y 23 z 13 pα 1q
'
% 1
z 23 x 13 y 23 z 13 pα 2q
$
1
'
&x
Reconnaı̂tre et caractériser l’application d’expression analy-
y
y1 z 1
'
% 1
z x 1
$
1
'
&x
Reconnaı̂tre et caractériser l’application d’expression analy-
xz
y0
?
p1 p
?
3q
3 1q
transfplanespace_13.tex
, d’angle π et de vecteur ~u
2
0
2
.
transfplanespace_14.tex
Dans le plan affine euclidien, on considère s une similitude
pace_15.tex
directe de centre Ω et d’angle θ R π Z. Soit A un point, D un droite
passant par A, ne contenant par Ω. On note D1 spDq et A1 spAq.
Montrer que les points Ω, A, A1 et D X D1 sont cocycliques. transfplanes-
42.15
1
2
3
2
?
Donner l’expression analytique du vissage d’axe
?
23 x 21 z
y1 y 1
?
'
%
3
z 1 12 x
2 z
$
1
'
&x
Similitudes directes du plan
D
#
42.14
tique :
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