Fiche démonstration Pythagore 4e On considère le carré MNOP ci-dessous. On a partagé chacun de ses côtés en 2 segments de longueur a et b ( a et b sont deux nombres positifs différents). L’unité est le centimètre. Etape 1 Aire du carré MNOP en fonction de a et b : AMNOP = (a+b)×(a+b) = a²+2ab+ b² (cm²) Les quatre triangles de la figure 2 sont tous identiques car ils sont rectangles et les côtés adjacents de l’angle droit sont a et b pour tous ces triangles. Si on note c l’hypoténuse de ces 4 triangles, on peut calculer l’aire de chacun : Atriangl e = Error! L’aire des 4 est donc A’ = 4×Error! = 2ab (cm²) On en déduis l’aire du quadrilatère QRST : AQRST = AMNOP − A’ = a 2 +2ab+b 2 −2ab = a 2+b 2 Etape 2 On note α l’angle Æ;MQR . Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, donc Æ;MRQ = 90−α Le triangle RSN est identique au triangle MRQ car ils sont rectangles et ont pour côtés adjacents à l’angle droit les côtés de longueur a et b. On en déduit : Æ;RSN = Æ;MRQ puis Æ;NRS = α Æ L’angle ;MRN est un angle plat. Il vaut donc 180°. On en déduit Æ;QRS = Æ;MRN - Æ;MRQ - Æ;NRS = 180 – (90 – α) – α = 180 – 90 + α – α = 90 Donc l’angle Æ;QRS est un angle droit. Etape 3 Le quadrilatère QRST a quatre côtés égaux et quatre angles droits, donc c’est un carré. Son aire vaut : A = c 2 (cm²) Conclusion Dans le triangle rectangle MRQ rectangle en M a 2+b 2= c 2